Цілі навчання
- Recognise, explain, and apply “Rationale Zahlen”.
- Recognise, explain, and apply “Potenzen”.
- Recognise, explain, and apply “Wurzeln in einfacher Form”.
- Recognise, explain, and apply “Terme”.
- Recognise, explain, and apply “Klammern”.
German Gymnasium Klasse 8 / Mathematics / Curriculum
Zahlen, Terme und Gleichungen
Zahlen, Terme und Gleichungen: structured theory, worked examples, answered practice, and a mastery checklist for German Gymnasium Klasse 8.
ПЛАН РОЗДІЛУ
Вивчайте, тренуйтеся та перевіряйте прогрес
Ідіть за кроками або переходьте одразу до потрібного розділу.
—/5
завершено
Орієнтовний активний час
209 хв
1. Зрозуміти
Цілі, ключові ідеї та структурована теорія.
Відкрити →2. Опанувати метод
Розв’язані приклади з поясненням кроків.
Відкрити →3. Практика
Різнорівневі завдання з підказками й відповідями.
Відкрити →4. Закріпити
Завдання від базового рівня до складних.
Відкрити →5. Перевірити
Тест із таймером, балами та розв’язаннями.
Відкрити →
Прогрес зберігається лише в цьому браузері й не потребує AI-кредитів.
Ключові ідеї та перевірки
- I can expand and factor with a check.
- I solve equations using equivalent steps.
- Every solution or explanation for “Zahlen, Terme und Gleichungen” should include a method, justification, and final check.
Розділ
Основна теорія
Ключові ідеї глави у зрозумілій послідовності перед практикою.
Variables and equivalence
A variable represents a number or quantity. Every algebraic transformation must preserve the equivalence of the original expression or equation.
One valid step at a time
Write each transformation on a new line and apply the same valid operation to both sides. This keeps the solution easy to audit.
Substitute and verify
A final value is not a complete solution until it is substituted into the original relation. Verification catches sign and expansion errors.
Rationale Zahlen
Use a suitable representation, state the rule, and keep every numerical or algebraic step equivalent. Finish with estimation, an inverse operation, or substitution as a check.
Potenzen
Use a suitable representation, state the rule, and keep every numerical or algebraic step equivalent. Finish with estimation, an inverse operation, or substitution as a check.
Wurzeln in einfacher Form
Use a suitable representation, state the rule, and keep every numerical or algebraic step equivalent. Finish with estimation, an inverse operation, or substitution as a check.
Terme
Use a suitable representation, state the rule, and keep every numerical or algebraic step equivalent. Finish with estimation, an inverse operation, or substitution as a check.
Klammern
Use a suitable representation, state the rule, and keep every numerical or algebraic step equivalent. Finish with estimation, an inverse operation, or substitution as a check.
Mathematics
Розв'язані приклади
Дотримуйтесь методу крок за кроком і перевіряйте обґрунтування.
Worked equation example
Solve 4(x - 2) + 4 = 3x + 8.
- 1Expand the bracket.
- 2Collect x-terms on one side and constants on the other.
- 3Divide by the coefficient of x and verify in the original equation.
x = 12
Reasoning example
Before calculating, explain the key idea from “Rationale Zahlen” and which conditions must be checked.
- 1Define the idea in one clear sentence.
- 2Connect it to a representation, law, or formula.
- 3State a restriction, unit, or final check that makes the solution valid.
The answer should show not only which rule is used for “Rationale Zahlen”, but also why it is valid here.
Zahlen, Terme und Gleichungen
Практика з відповідями
Вісім завдань від базових навичок до екзаменаційного рівня. Спочатку виконайте самостійно.
Базова навичка4 хвилин
Solve 8x + 3 = 27.
Підказка
Subtract 3 from both sides, then divide by 8.
Відповідь
x = 3.
Базова навичка5 хвилин
Expand and simplify 4(x + 5) - 5x.
Підказка
Multiply every term inside the bracket.
Відповідь
4x + 20 - 5x = -1x + 20.
Застосування6 хвилин
Factorise 7x + 14.
Підказка
Take out the common factor 7.
Відповідь
7(x + 2).
Застосування7 хвилин
For f(x) = 3x + 4, find f(7) and solve f(x) = 16.
Підказка
Substitute, then solve the equation.
Відповідь
f(7) = 25; x = 4.
Обґрунтування8 хвилин
A sequence starts 6, 12, 18. Find its nth term and 10th term.
Підказка
The common difference is 6.
Відповідь
6n + 0; term 10 = 60.
Обґрунтування9 хвилин
Solve 9x + 3 > 30.
Підказка
Use equation steps; the coefficient of x is positive.
Відповідь
x > 3.
Екзаменаційний10 хвилин
Solve x + y = 10, x - y = 0.
Підказка
Add the two equations.
Відповідь
x = 5, y = 5.
Екзаменаційний12 хвилин
A learner writes 8(x + 2) = 8x + 2. Identify and correct the error.
Підказка
The outside factor multiplies every term.
Відповідь
8(x + 2) = 8x + 16.
Типові помилки
- Changing a sign without applying it to every term.
- Combining terms that are not like terms.
- Dividing by an expression that may be zero without stating a restriction.
Перевірка розуміння
- I can expand and factor with a check.
- I solve equations using equivalent steps.
- I verify the solution in the original relation.
Zahlen, Terme und Gleichungen
Домашня робота до розділу
Шість різних завдань від базового рівня до складного з часом, підказками та відповідями.
Базовий8 хвилин
Homework 1: Solve 4x + 4 = 20.
Підказка
Subtract 4 from both sides, then divide by 4.
Відповідь
x = 4.
Базовий10 хвилин
Homework 2: Expand and simplify 7(x + 6) - 6x.
Підказка
Multiply every term inside the bracket.
Відповідь
7x + 42 - 6x = 1x + 42.
Поглиблений12 хвилин
Homework 3: Factorise 3x + 9.
Підказка
Take out the common factor 3.
Відповідь
3(x + 3).
Поглиблений15 хвилин
Homework 4: For f(x) = 6x + 5, find f(11) and solve f(x) = 35.
Підказка
Substitute, then solve the equation.
Відповідь
f(11) = 71; x = 5.
Складний18 хвилин
Homework 5: A sequence starts 2, 11, 20. Find its nth term and 10th term.
Підказка
The common difference is 9.
Відповідь
9n + -7; term 10 = 83.
Складний20 хвилин
Homework 6: Solve 5x + 4 > 24.
Підказка
Use equation steps; the coefficient of x is positive.
Відповідь
x > 4.
50 хвилин / 40 балів
Повний тест розділу
Повний тест із таймером, балами та зразками відповідей.
Start the timer when ready, work without notes, show every step, and open model answers only after finishing.
1. Solve 9x + 4 = 40.
2 балівВідповідь
x = 4.
2. Expand and simplify 5(x + 6) - 6x.
3 балівВідповідь
5x + 30 - 6x = -1x + 30.
3. Factorise 8x + 24.
3 балівВідповідь
8(x + 3).
4. For f(x) = 4x + 5, find f(9) and solve f(x) = 25.
4 балівВідповідь
f(9) = 41; x = 5.
5. A sequence starts 2, 9, 16. Find its nth term and 10th term.
4 балівВідповідь
7n + -5; term 10 = 65.
6. Solve 3x + 4 > 16.
4 балівВідповідь
x > 4.
7. Solve x + y = 12, x - y = 0.
5 балівВідповідь
x = 6, y = 6.
8. A learner writes 9(x + 3) = 9x + 3. Identify and correct the error.
5 балівВідповідь
9(x + 3) = 9x + 27.
9. Model this: 5 tickets cost x euros each plus a fixed 5 euros. Write the cost and find it for x = 10.
5 балівВідповідь
C = 5x + 5; C(10) = 55.
10. Represent “Sachaufgaben” as an equation, a graph, and a verbal description of the same model.
5 балівВідповідь
Example y = 8x + 2: a line with gradient 8, intercept 2, meaning “starts at 2 and rises by 8 per unit”.
Розділ
Офіційні джерела
Джерела програми; порядок тем уточнюйте у школі та викладача.
Mathematics
German Gymnasium Klasse 8: структурований маршрут з математики та фізики з розділами, практикою і наступними кроками.
Що покриває глава
Структура відповідає підручнику й допомагає організувати вивчення теми.
Rationale Zahlen
Potenzen
Wurzeln in einfacher Form
Terme
Klammern
Binomische Formeln introduction
Lineare Gleichungen
Lineare Ungleichungen
Formeln umstellen
Sachaufgaben
Lineare Gleichungssysteme introduction
На чому сфокусуватися
Теми, де найчастіше виникають помилки або потрібна додаткова практика.
I can expand and factor with a check.
I solve equations using equivalent steps.
I verify the solution in the original relation.
Джерела, щоденні матеріали та ресурси
З чого почати: підручник, daily material, PDFs, videos і worked examples.
Start from the official textbook or specification referenced on the subject page.
Use the notes and examples as support, not as a replacement for the official syllabus.
Check the current syllabus version before exam preparation.
Практика за підтемами
Цільова практика перед full tests, щоб coverage було зрозумілим.
Solve 8x + 3 = 27.
Expand and simplify 4(x + 5) - 5x.
Factorise 7x + 14.
For f(x) = 3x + 4, find f(7) and solve f(x) = 16.
A sequence starts 6, 12, 18. Find its nth term and 10th term.
Solve 9x + 3 > 30.
Solve x + y = 10, x - y = 0.
A learner writes 8(x + 2) = 8x + 2. Identify and correct the error.
Mocks і перевірка прогресу
Як вимірювати прогрес у главі і коли додавати її до загального mock.
Start with untimed practice by subtopic.
Move to a short timed checkpoint only after completing the mastery checklist.
Record each error with the correct method and revisit it after 48 hours.
Наступний крок
Що робити після глави і як вона пов'язана з наступним розділом.
Complete the practice without support.
Explain the core method aloud in under two minutes.
Continue to the next chapter or request targeted tutor support.
Примітка: офіційну екзаменаційну програму кожного року завжди уточнюйте у школі, викладача та за поточними офіційними джерелами.