Цілі навчання
- Recognise, explain, and apply “Dreiecke”.
- Recognise, explain, and apply “Vierecke”.
- Recognise, explain, and apply “Kreis”.
- Recognise, explain, and apply “Satz des Pythagoras”.
- Recognise, explain, and apply “Ähnlichkeit”.
German Gymnasium Klasse 8 / Mathematics / Curriculum
Geometrie
Geometrie: structured theory, worked examples, answered practice, and a mastery checklist for German Gymnasium Klasse 8.
ПЛАН РОЗДІЛУ
Вивчайте, тренуйтеся та перевіряйте прогрес
Ідіть за кроками або переходьте одразу до потрібного розділу.
—/5
завершено
Орієнтовний активний час
209 хв
1. Зрозуміти
Цілі, ключові ідеї та структурована теорія.
Відкрити →2. Опанувати метод
Розв’язані приклади з поясненням кроків.
Відкрити →3. Практика
Різнорівневі завдання з підказками й відповідями.
Відкрити →4. Закріпити
Завдання від базового рівня до складних.
Відкрити →5. Перевірити
Тест із таймером, балами та розв’язаннями.
Відкрити →
Прогрес зберігається лише в цьому браузері й не потребує AI-кредитів.
Ключові ідеї та перевірки
- I select a theorem from the diagram's givens.
- I justify every step of the solution.
- Every solution or explanation for “Geometrie” should include a method, justification, and final check.
Розділ
Основна теорія
Ключові ідеї глави у зрозумілій послідовності перед практикою.
Diagram, givens, target
Mark every given on the diagram and state the target clearly. Start from a relationship that connects exactly those quantities.
Property with justification
Every geometric step needs a property, theorem, or definition. A result without justification is not a complete proof.
Units and precision
Length, area, volume, and angle use different units. Round only at the end and keep sufficient intermediate precision.
Dreiecke
Draw and label every given before choosing a property or formula. Finish with estimation, an inverse operation, or substitution as a check.
Vierecke
Draw and label every given before choosing a property or formula. Finish with estimation, an inverse operation, or substitution as a check.
Kreis
Draw and label every given before choosing a property or formula. Finish with estimation, an inverse operation, or substitution as a check.
Satz des Pythagoras
Draw and label every given before choosing a property or formula. Finish with estimation, an inverse operation, or substitution as a check.
Ähnlichkeit
Draw and label every given before choosing a property or formula. Finish with estimation, an inverse operation, or substitution as a check.
Mathematics
Розв'язані приклади
Дотримуйтесь методу крок за кроком і перевіряйте обґрунтування.
Worked geometry example
A right triangle has perpendicular sides 6 cm and 8 cm. Find its hypotenuse and area.
- 1Pythagoras: c² = 6² + 8².
- 2c = √(100) = 10 cm.
- 3Area = 1/2 · 6 · 8.
Hypotenuse 10 cm, area 24 cm².
Reasoning example
Before calculating, explain the key idea from “Dreiecke” and which conditions must be checked.
- 1Define the idea in one clear sentence.
- 2Connect it to a representation, law, or formula.
- 3State a restriction, unit, or final check that makes the solution valid.
The answer should show not only which rule is used for “Dreiecke”, but also why it is valid here.
Geometrie
Практика з відповідями
Вісім завдань від базових навичок до екзаменаційного рівня. Спочатку виконайте самостійно.
Базова навичка4 хвилин
A 9 cm by 3 cm rectangle: find perimeter and area.
Підказка
P = 2(l+w), A = lw.
Відповідь
P = 24 cm, A = 27 cm².
Базова навичка5 хвилин
A triangle has base 25 cm and height 5 cm. Find its area.
Підказка
A = 1/2 bh.
Відповідь
A = 1/2 · 25 · 5 = 62.5 cm².
Застосування6 хвилин
Two angles in a triangle are 80° and 20°. Find the third.
Підказка
Triangle angles sum to 180°.
Відповідь
80°.
Застосування7 хвилин
A right triangle has legs 12 cm and 16 cm. Find the hypotenuse.
Підказка
Use a²+b²=c².
Відповідь
20 cm.
Обґрунтування8 хвилин
A circle has radius 6 cm. Find circumference and area in terms of π.
Підказка
C = 2πr, A = πr².
Відповідь
C = 12π cm, A = 36π cm².
Обґрунтування9 хвилин
Scale 1:300. What real length in metres does 3 cm represent?
Підказка
Multiply in cm, then convert to metres.
Відповідь
3 · 300 = 900 cm = 9 m.
Екзаменаційний10 хвилин
A cuboid is 6 cm × 5 cm × 11 cm. Find its volume.
Підказка
V = lwh.
Відповідь
V = 330 cm³.
Екзаменаційний12 хвилин
Points A(0,0) and B(9,2). Find AB.
Підказка
AB = √(Δx²+Δy²).
Відповідь
AB = √85.
Типові помилки
- Using a formula without checking its conditions.
- Confusing linear, square, and cubic units.
- Treating a not-to-scale diagram as a measurement.
Перевірка розуміння
- I select a theorem from the diagram's givens.
- I justify every step of the solution.
- I use correct units and a final check.
Geometrie
Домашня робота до розділу
Шість різних завдань від базового рівня до складного з часом, підказками та відповідями.
Базовий8 хвилин
Homework 1: A 5 cm by 4 cm rectangle: find perimeter and area.
Підказка
P = 2(l+w), A = lw.
Відповідь
P = 18 cm, A = 20 cm².
Базовий10 хвилин
Homework 2: A triangle has base 48 cm and height 6 cm. Find its area.
Підказка
A = 1/2 bh.
Відповідь
A = 1/2 · 48 · 6 = 144 cm².
Поглиблений12 хвилин
Homework 3: Two angles in a triangle are 40° and 30°. Find the third.
Підказка
Triangle angles sum to 180°.
Відповідь
110°.
Поглиблений15 хвилин
Homework 4: A right triangle has legs 15 cm and 20 cm. Find the hypotenuse.
Підказка
Use a²+b²=c².
Відповідь
25 cm.
Складний18 хвилин
Homework 5: A circle has radius 2 cm. Find circumference and area in terms of π.
Підказка
C = 2πr, A = πr².
Відповідь
C = 4π cm, A = 4π cm².
Складний20 хвилин
Homework 6: Scale 1:600. What real length in metres does 4 cm represent?
Підказка
Multiply in cm, then convert to metres.
Відповідь
4 · 600 = 2400 cm = 24 m.
50 хвилин / 40 балів
Повний тест розділу
Повний тест із таймером, балами та зразками відповідей.
Start the timer when ready, work without notes, show every step, and open model answers only after finishing.
1. A 3 cm by 4 cm rectangle: find perimeter and area.
2 балівВідповідь
P = 14 cm, A = 12 cm².
2. A triangle has base 36 cm and height 6 cm. Find its area.
3 балівВідповідь
A = 1/2 · 36 · 6 = 108 cm².
3. Two angles in a triangle are 90° and 30°. Find the third.
3 балівВідповідь
60°.
4. A right triangle has legs 15 cm and 20 cm. Find the hypotenuse.
4 балівВідповідь
25 cm.
5. A circle has radius 2 cm. Find circumference and area in terms of π.
4 балівВідповідь
C = 4π cm, A = 4π cm².
6. Scale 1:400. What real length in metres does 4 cm represent?
4 балівВідповідь
4 · 400 = 1600 cm = 16 m.
7. A cuboid is 7 cm × 6 cm × 13 cm. Find its volume.
5 балівВідповідь
V = 546 cm³.
8. Points A(0,0) and B(3,3). Find AB.
5 балівВідповідь
AB = √18.
9. Similar shapes have length scale factor 1:5. If the small area is 6 cm², find the large area.
5 балівВідповідь
6 · 5² = 150 cm².
10. Explain which givens and theorem are needed for a complete argument about “Dreiecke”.
5 балівВідповідь
Full response: a labelled diagram, givens, an applicable theorem with its conditions, and a logically derived conclusion.
Розділ
Офіційні джерела
Джерела програми; порядок тем уточнюйте у школі та викладача.
Mathematics
German Gymnasium Klasse 8: структурований маршрут з математики та фізики з розділами, практикою і наступними кроками.
Що покриває глава
Структура відповідає підручнику й допомагає організувати вивчення теми.
Dreiecke
Vierecke
Kreis
Satz des Pythagoras
Ähnlichkeit
Maßstab
Kreisumfang
Kreisfläche
Körperberechnungen
На чому сфокусуватися
Теми, де найчастіше виникають помилки або потрібна додаткова практика.
I select a theorem from the diagram's givens.
I justify every step of the solution.
I use correct units and a final check.
Джерела, щоденні матеріали та ресурси
З чого почати: підручник, daily material, PDFs, videos і worked examples.
Start from the official textbook or specification referenced on the subject page.
Use the notes and examples as support, not as a replacement for the official syllabus.
Check the current syllabus version before exam preparation.
Практика за підтемами
Цільова практика перед full tests, щоб coverage було зрозумілим.
A 9 cm by 3 cm rectangle: find perimeter and area.
A triangle has base 25 cm and height 5 cm. Find its area.
Two angles in a triangle are 80° and 20°. Find the third.
A right triangle has legs 12 cm and 16 cm. Find the hypotenuse.
A circle has radius 6 cm. Find circumference and area in terms of π.
Scale 1:300. What real length in metres does 3 cm represent?
A cuboid is 6 cm × 5 cm × 11 cm. Find its volume.
Points A(0,0) and B(9,2). Find AB.
Mocks і перевірка прогресу
Як вимірювати прогрес у главі і коли додавати її до загального mock.
Start with untimed practice by subtopic.
Move to a short timed checkpoint only after completing the mastery checklist.
Record each error with the correct method and revisit it after 48 hours.
Наступний крок
Що робити після глави і як вона пов'язана з наступним розділом.
Complete the practice without support.
Explain the core method aloud in under two minutes.
Continue to the next chapter or request targeted tutor support.
Примітка: офіційну екзаменаційну програму кожного року завжди уточнюйте у школі, викладача та за поточними офіційними джерелами.