Πανελλήνιες / Μαθηματικά / Curriculum
Κεφάλαιο 2: Διαφορικός Λογισμός: οργανωμένη θεωρία, λυμένα παραδείγματα, ασκήσεις με απαντήσεις και έλεγχος κατανόησης για Πανελλήνιες.
ΠΛΑΝΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
Ακολούθησε τα βήματα με τη σειρά ή πήγαινε κατευθείαν στο σημείο που χρειάζεσαι.
—/5
ολοκληρωμένα
Εκτιμώμενος ενεργός χρόνος
209 λεπτά
Στόχοι, βασικές έννοιες και οργανωμένη θεωρία.
Άνοιγμα →Λυμένα παραδείγματα με αιτιολόγηση κάθε βήματος.
Άνοιγμα →Διαβαθμισμένες ασκήσεις με υπόδειξη και απάντηση.
Άνοιγμα →Εργασίες από βασικό επίπεδο έως πρόκληση.
Άνοιγμα →Χρονομετρημένο test με βαθμούς και οδηγό λύσεων.
Άνοιγμα →Η πρόοδος αποθηκεύεται μόνο σε αυτόν τον browser και δεν απαιτεί AI credits.
Ενότητα
Οι βασικές ιδέες του κεφαλαίου σε καθαρή σειρά πριν από την εξάσκηση.
Ο λογισμός μελετά πώς αλλάζει μια ποσότητα και πώς συσσωρεύονται μικρές μεταβολές. Η γραφική ερμηνεία πρέπει να συνοδεύει τον συμβολισμό.
Έλεγξε πεδίο ορισμού, συνέχεια ή παραγωγισιμότητα όπου απαιτείται. Ένας σωστός τύπος δεν εφαρμόζεται μηχανικά έξω από τις προϋποθέσεις του.
Παράγωγος σημαίνει τοπικό ρυθμό μεταβολής και ορισμένο ολοκλήρωμα καθαρή συσσώρευση. Σύνδεσε πάντα το αποτέλεσμα με το αρχικό πρόβλημα.
Χρησιμοποίησε κατάλληλη αναπαράσταση, γράψε τον κανόνα και κράτησε κάθε αριθμητικό ή αλγεβρικό βήμα ισοδύναμο. Ολοκλήρωσε με εκτίμηση, αντίστροφη πράξη ή αντικατάσταση για έλεγχο.
Χρησιμοποίησε κατάλληλη αναπαράσταση, γράψε τον κανόνα και κράτησε κάθε αριθμητικό ή αλγεβρικό βήμα ισοδύναμο. Ολοκλήρωσε με εκτίμηση, αντίστροφη πράξη ή αντικατάσταση για έλεγχο.
Χρησιμοποίησε κατάλληλη αναπαράσταση, γράψε τον κανόνα και κράτησε κάθε αριθμητικό ή αλγεβρικό βήμα ισοδύναμο. Ολοκλήρωσε με εκτίμηση, αντίστροφη πράξη ή αντικατάσταση για έλεγχο.
Χρησιμοποίησε κατάλληλη αναπαράσταση, γράψε τον κανόνα και κράτησε κάθε αριθμητικό ή αλγεβρικό βήμα ισοδύναμο. Ολοκλήρωσε με εκτίμηση, αντίστροφη πράξη ή αντικατάσταση για έλεγχο.
Χρησιμοποίησε κατάλληλη αναπαράσταση, γράψε τον κανόνα και κράτησε κάθε αριθμητικό ή αλγεβρικό βήμα ισοδύναμο. Ολοκλήρωσε με εκτίμηση, αντίστροφη πράξη ή αντικατάσταση για έλεγχο.
Μαθηματικά
Δες τη μέθοδο βήμα προς βήμα και έλεγξε γιατί κάθε βήμα είναι έγκυρο.
Για f(x) = x³ - 3x, βρες την παράγωγο και την κλίση στο x = 6.
f'(x) = 3x² - 3, f'(6) = 105
Πριν από υπολογισμό, εξήγησε ποια βασική ιδέα από το «Έννοια παραγώγου» χρειάζεται και ποιες προϋποθέσεις πρέπει να ελεγχθούν.
Η απάντηση πρέπει να δείχνει όχι μόνο ποιον κανόνα χρησιμοποιούμε για το «Έννοια παραγώγου», αλλά και γιατί επιτρέπεται να χρησιμοποιηθεί εδώ.
Κεφάλαιο 2: Διαφορικός Λογισμός
Οκτώ διαβαθμισμένες ασκήσεις από βασική ευχέρεια έως exam-style εφαρμογή. Προσπάθησε μόνος σου πριν ανοίξεις υπόδειξη ή απάντηση.
Για f(x)=x²+3x, βρες f'(x).
Χρησιμοποίησε τον κανόνα δύναμης ανά όρο.
f'(x)=2x+3.
Βρες την κλίση της f(x)=x²+6x στο x=2.
Βρες f'(x) και αντικατάστησε.
f'(2)=2·2+6=10.
Βρες το αόριστο ολοκλήρωμα ∫(9x+4)dx.
Αύξησε τη δύναμη κατά 1 και διαίρεσε με τη νέα δύναμη.
4.5x²+4x+C.
Υπολόγισε ∫₀^6 5x dx.
Βρες παράγουσα και χρησιμοποίησε άνω-κάτω όριο.
2.5·6² = 90.
Βρες το στάσιμο σημείο της f(x)=x²-6x+8.
Θέσε f'(x)=0 και μετά βρες y.
x=3, y=-1=-1.
Αν ds/dt=4t+5 και s(0)=9, βρες s(t).
Ολοκλήρωσε και χρησιμοποίησε την αρχική συνθήκη.
s(t)=2t²+5t+9.
Έλεγξε αν F(x)=3.5x²+2x είναι παράγουσα της f(x)=7x+2.
Παραγώγισε την F.
F'(x)=7x+2=f(x), so yes.
Ένας μαθητής γράφει d(x³)/dx=3x. Διόρθωσε και εξήγησε τον κανόνα.
Στον κανόνα δύναμης μειώνεται ο εκθέτης κατά 1.
d(x³)/dx=3x².
Κεφάλαιο 2: Διαφορικός Λογισμός
Έξι διαφορετικές εργασίες από βασική εμπέδωση έως challenge, με εκτιμώμενο χρόνο, υποδείξεις και οδηγούς απάντησης.
Homework 1: Για f(x)=x²+6x, βρες f'(x).
Χρησιμοποίησε τον κανόνα δύναμης ανά όρο.
f'(x)=2x+6.
Homework 2: Βρες την κλίση της f(x)=x²+9x στο x=3.
Βρες f'(x) και αντικατάστησε.
f'(3)=2·3+9=15.
Homework 3: Βρες το αόριστο ολοκλήρωμα ∫(5x+5)dx.
Αύξησε τη δύναμη κατά 1 και διαίρεσε με τη νέα δύναμη.
2.5x²+5x+C.
Homework 4: Υπολόγισε ∫₀^2 8x dx.
Βρες παράγουσα και χρησιμοποίησε άνω-κάτω όριο.
4·2² = 16.
Homework 5: Βρες το στάσιμο σημείο της f(x)=x²-8x+4.
Θέσε f'(x)=0 και μετά βρες y.
x=4, y=-12=-12.
Homework 6: Αν ds/dt=7t+6 και s(0)=13, βρες s(t).
Ολοκλήρωσε και χρησιμοποίησε την αρχική συνθήκη.
s(t)=3.5t²+6t+13.
50 λεπτά / 40 βαθμοί
Χρονομετρημένο διαγώνισμα αυτοαξιολόγησης με πλήρη βαθμολογία και ενδεικτικές απαντήσεις.
Ξεκίνα το χρονόμετρο όταν είσαι έτοιμος, δούλεψε χωρίς σημειώσεις, δείξε όλα τα βήματα και άνοιξε τις ενδεικτικές απαντήσεις μόνο μετά το τέλος.
1. Για f(x)=x²+4x, βρες f'(x).
2 βαθμοίf'(x)=2x+4.
2. Βρες την κλίση της f(x)=x²+7x στο x=3.
3 βαθμοίf'(3)=2·3+7=13.
3. Βρες το αόριστο ολοκλήρωμα ∫(3x+5)dx.
3 βαθμοί1.5x²+5x+C.
4. Υπολόγισε ∫₀^2 6x dx.
4 βαθμοί3·2² = 12.
5. Βρες το στάσιμο σημείο της f(x)=x²-8x+9.
4 βαθμοίx=4, y=-7=-7.
6. Αν ds/dt=5t+6 και s(0)=11, βρες s(t).
4 βαθμοίs(t)=2.5t²+6t+11.
7. Έλεγξε αν F(x)=4x²+3x είναι παράγουσα της f(x)=8x+3.
5 βαθμοίF'(x)=8x+3=f(x), so yes.
8. Ένας μαθητής γράφει d(x³)/dx=3x. Διόρθωσε και εξήγησε τον κανόνα.
5 βαθμοίd(x³)/dx=3x².
9. Μοντελοποίησε ένα ρυθμό μεταβολής σχετικό με το «Μονοτονία» και εξήγησε μονάδες παραγώγου.
5 βαθμοίΠλήρης απάντηση ορίζει ανεξάρτητη/εξαρτημένη μεταβλητή, γράφει συνάρτηση ή δεδομένα και ερμηνεύει την παράγωγο ως μονάδες εξόδου ανά μονάδα εισόδου.
10. Συνδύασε παράγωγο και ολοκλήρωμα σε exam-style πρόβλημα για το «Τοπικά ακρότατα» και έλεγξε το αποτέλεσμα.
5 βαθμοίΠλήρης λύση ορίζει μεταβλητές/μονάδες, χρησιμοποιεί παράγωγο για στιγμιαίο ρυθμό, ολοκλήρωμα για συνολική μεταβολή και ελέγχει ότι οι πράξεις είναι αντίστροφες.
Ενότητα
Πηγές αναφοράς για το curriculum. Η σειρά διδασκαλίας επιβεβαιώνεται πάντα με το σχολείο και τον καθηγητή.
Μαθηματικά
Στρατηγική Πανελληνίων: θεωρία, μεθοδολογία, χρονομέτρηση, grading και συνεχής διόρθωση.
Η δομή βασίζεται στη διάρθρωση του σχολικού βιβλίου και χρησιμοποιείται για να οργανωθεί η μελέτη.
Τα σημεία που συνήθως δημιουργούν λάθη ή χρειάζονται περισσότερη επανάληψη.
Πού ξεκινάς: σχολικό βιβλίο, καθημερινό υλικό, PDFs, videos και worked examples.
Στοχευμένη εξάσκηση πριν πας σε full tests, ώστε να φαίνεται καθαρά τι έχει καλυφθεί.
Πώς μετράμε πρόοδο σε αυτό το κεφάλαιο και πότε μπαίνει σε συνολικό διαγώνισμα.
Τι κάνεις όταν ολοκληρωθεί το κεφάλαιο και πώς συνδέεται με την επόμενη ενότητα.
Σημείωση: για επίσημη εξεταστέα ύλη κάθε σχολικής χρονιάς επιβεβαίωσε πάντα με το σχολείο, τον καθηγητή και τις τρέχουσες ανακοινώσεις/πηγές ΥΠΑΙΘ και ΙΕΠ.
