Στόχοι μάθησης
- Εξηγώ και εφαρμόζω: Αντικατάσταση και απαλοιφή.
- Εξηγώ και εφαρμόζω: Γραφική ερμηνεία.
- Εξηγώ και εφαρμόζω: Μοντελοποίηση και έλεγχος.
Γ' Γυμνασίου / Μαθηματικά / Πιλοτική εμβάθυνση δύο ενοτήτων
Συστήματα γραμμικών εξισώσεων
Συστήματα γραμμικών εξισώσεων: οργανωμένη θεωρία, λυμένα παραδείγματα, ασκήσεις με απαντήσεις και έλεγχος κατανόησης για Γ' Γυμνασίου.
ΠΛΑΝΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
Μάθε, εξασκήσου και έλεγξε την πρόοδό σου
Ακολούθησε τα βήματα με τη σειρά ή πήγαινε κατευθείαν στο σημείο που χρειάζεσαι.
—/5
ολοκληρωμένα
Εκτιμώμενος ενεργός χρόνος
156 λεπτά
1. Κατανόηση
Στόχοι, βασικές έννοιες και οργανωμένη θεωρία.
Άνοιγμα →2. Μέθοδος
Λυμένα παραδείγματα με αιτιολόγηση κάθε βήματος.
Άνοιγμα →3. Εξάσκηση
Διαβαθμισμένες ασκήσεις με υπόδειξη και απάντηση.
Άνοιγμα →4. Εμπέδωση
Εργασίες από βασικό επίπεδο έως πρόκληση.
Άνοιγμα →5. Έλεγχος
Χρονομετρημένο test με βαθμούς και οδηγό λύσεων.
Άνοιγμα →
Η πρόοδος αποθηκεύεται μόνο σε αυτόν τον browser και δεν απαιτεί AI credits.
Βασικές ιδέες και έλεγχοι
- Η επαλήθευση γίνεται και στις δύο αρχικές εξισώσεις.
- 0=1 σημαίνει αδύνατο σύστημα.
- 0=0 μπορεί να αφήνει μία ελεύθερη μεταβλητή.
Ενότητα
Θεωρία που χρειάζεσαι
Οι βασικές ιδέες του κεφαλαίου σε καθαρή σειρά πριν από την εξάσκηση.
Κατανόηση της έννοιας
Λύση συστήματος είναι διατεταγμένο ζεύγος που επαληθεύει ταυτόχρονα και τις δύο εξισώσεις. Κάθε εξίσωση παριστάνει ευθεία: μία τομή δίνει μία λύση, παράλληλες διαφορετικές ευθείες καμία, ίδιες ευθείες άπειρες.
Μέθοδος και προϋποθέσεις
Στην αντικατάσταση απομόνωσε έναν άγνωστο και αντικατάστησε ολόκληρη την ισοδύναμη παράσταση με παρενθέσεις. Στην απαλοιφή πολλαπλασίασε όλα τα μέλη ώστε ένας άγνωστος να έχει αντίθετους συντελεστές και πρόσθεσε.
Έλεγχος και όρια κάλυψης
Σε λεκτικό πρόβλημα όρισε τι μετρά κάθε άγνωστος και γράψε ξεχωριστά τους δύο περιορισμούς. Μετά τη λύση έλεγξε μονάδες, μη αρνητικότητα και, αν μετράς αντικείμενα, ακέραιες τιμές.
Πρωτότυπο πιλοτικό υλικό — αναμένεται έλεγχος εκπαιδευτικού
Συντάχθηκε ειδικά για το YourFavTeacher με υποστήριξη AI, χωρίς αντιγραφή εκφωνήσεων παλιών θεμάτων. Οι τεχνικοί και αριθμητικοί έλεγχοι δεν αντικαθιστούν έλεγχο εκπαιδευτικού. Δεν είναι επίσημο θέμα ούτε πιστοποιημένο από φορέα.
Μαθηματικά
Λυμένα παραδείγματα
Δες τη μέθοδο βήμα προς βήμα και έλεγξε γιατί κάθε βήμα είναι έγκυρο.
Αναλυτικό παράδειγμα 1
Λύσε x+y=11, x−y=1.
- 1Πρόσθεσε τις εξισώσεις ώστε να απαλειφθεί το y.
- 22x=12 ⇒ x=6; y=11−6=5
- 3Έλεγξε το ζεύγος και στις δύο εξισώσεις.
x=6, y=5
Αναλυτικό παράδειγμα 2
Πόσες λύσεις έχει x+y=6, 2x+2y=12; Γράψε γενική μορφή.
- 1Η δεύτερη εξίσωση είναι διπλάσια της πρώτης.
- 2Δεν προσθέτει ανεξάρτητο περιορισμό.
- 3y=6−x
Άπειρες: (x, 6−x), x∈ℝ.
Αναλυτικό παράδειγμα 3
Το ζεύγος (6,5) ικανοποιεί x+y=11. Αρκεί αυτό για να λύνει και x−y=0;
- 1Λύση συστήματος σημαίνει ότι ισχύουν όλες οι εξισώσεις μαζί.
- 26−5=1≠0
- 3Το ζεύγος απορρίπτεται, παρότι ικανοποιεί την πρώτη εξίσωση.
Όχι: δεν ικανοποιεί τη δεύτερη.
Συστήματα γραμμικών εξισώσεων
Εξάσκηση με απαντήσεις
Οκτώ διαβαθμισμένες ασκήσεις από βασική ευχέρεια έως exam-style εφαρμογή. Προσπάθησε μόνος σου πριν ανοίξεις υπόδειξη ή απάντηση.
Βασική ευχέρεια6 λεπτά
Λύσε x+y=5, x−y=1.
Υπόδειξη
Πρόσθεσε τις εξισώσεις ώστε να απαλειφθεί το y.
Οδηγός απάντησης
Πρόσθεσε τις εξισώσεις ώστε να απαλειφθεί το y. 2x=6 ⇒ x=3; y=5−3=2 Έλεγξε το ζεύγος και στις δύο εξισώσεις. x=3, y=2
Βασική ευχέρεια6 λεπτά
Λύσε y=2x−3, x+y=6.
Υπόδειξη
Αντικατάστησε την πρώτη έκφραση για y στη δεύτερη εξίσωση.
Οδηγός απάντησης
Αντικατάστησε την πρώτη έκφραση για y στη δεύτερη εξίσωση. x+2x−3=6 ⇒ 3x=9 ⇒ x=3; y=3 Και τα δύο μέλη της δεύτερης εξίσωσης δίνουν 6. x=3, y=3
Βασική ευχέρεια6 λεπτά
Δύο τύποι εισιτηρίων κοστίζουν 2€ και 3€. Πωλήθηκαν 5 εισιτήρια αντί 12€. Βρες πόσα από κάθε τύπο.
Υπόδειξη
Όρισε x τα εισιτήρια των 2€ και y των 3€.
Οδηγός απάντησης
Όρισε x τα εισιτήρια των 2€ και y των 3€. x+y=5; 2x+3y=12; 2x+2y=10; y=12−10=2; x=5−2=3 Αφαιρέσαμε τη διπλάσια πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη. Τα πλήθη είναι μη αρνητικοί ακέραιοι και επαληθεύουν το συνολικό ποσό. 3 × 2€, 2 × 3€
Εφαρμογή6 λεπτά
Έχει λύση το σύστημα x+y=3, 2x+2y=7;
Υπόδειξη
Διπλασίασε την πρώτη εξίσωση.
Οδηγός απάντησης
Διπλασίασε την πρώτη εξίσωση. 2x+2y=6 Η δεύτερη ζητά διαφορετικό άθροισμα 7 για την ίδια παράσταση. Αδύνατο σύστημα: καμία λύση.
Εφαρμογή6 λεπτά
Πόσες λύσεις έχει x+y=3, 2x+2y=6; Γράψε γενική μορφή.
Υπόδειξη
Η δεύτερη εξίσωση είναι διπλάσια της πρώτης.
Οδηγός απάντησης
Η δεύτερη εξίσωση είναι διπλάσια της πρώτης. Δεν προσθέτει ανεξάρτητο περιορισμό. y=3−x Άπειρες: (x, 3−x), x∈ℝ.
Εφαρμογή6 λεπτά
Λύσε 2x+y=8, x+2y=7.
Υπόδειξη
Διπλασίασε τη δεύτερη και αφαίρεσε την πρώτη.
Οδηγός απάντησης
Διπλασίασε τη δεύτερη και αφαίρεσε την πρώτη. 3y=6 ⇒ y=2; x=3 Έλεγχος: 2·3+2=8 και 3+2·2=7. x=3, y=2
Αιτιολόγηση6 λεπτά
Οι ευθείες y=x+2 και y=−x+8 τέμνονται. Βρες το σημείο τομής.
Υπόδειξη
Στην τομή οι δύο εκφράσεις του y είναι ίσες.
Οδηγός απάντησης
Στην τομή οι δύο εκφράσεις του y είναι ίσες. x+2=−x+8 ⇒ 2x=6 ⇒ x=3; y=5 Το σημείο πρέπει να ανήκει και στις δύο ευθείες. (3, 5)
Αιτιολόγηση6 λεπτά
Το ζεύγος (3,2) ικανοποιεί x+y=5. Αρκεί αυτό για να λύνει και x−y=0;
Υπόδειξη
Λύση συστήματος σημαίνει ότι ισχύουν όλες οι εξισώσεις μαζί.
Οδηγός απάντησης
Λύση συστήματος σημαίνει ότι ισχύουν όλες οι εξισώσεις μαζί. 3−2=1≠0 Το ζεύγος απορρίπτεται, παρότι ικανοποιεί την πρώτη εξίσωση. Όχι: δεν ικανοποιεί τη δεύτερη.
Συχνά λάθη
- Ελέγχω μόνο τη μία εξίσωση.
- Πολλαπλασιάζω μόνο έναν όρο στην απαλοιφή.
- Ονομάζω το 0=0 μοναδική λύση (0,0).
Έλεγχος κατανόησης
- Λύνω χωρίς βοήθεια και ελέγχω: Αντικατάσταση και απαλοιφή.
- Λύνω χωρίς βοήθεια και ελέγχω: Γραφική ερμηνεία.
- Λύνω χωρίς βοήθεια και ελέγχω: Μοντελοποίηση και έλεγχος.
Συστήματα γραμμικών εξισώσεων
Homework κεφαλαίου
Έξι διαφορετικές εργασίες από βασική εμπέδωση έως challenge, με εκτιμώμενο χρόνο, υποδείξεις και οδηγούς απάντησης.
Βασικό8 λεπτά
Λύσε x+y=7, x−y=1.
Υπόδειξη
Πρόσθεσε τις εξισώσεις ώστε να απαλειφθεί το y.
Οδηγός απάντησης
Πρόσθεσε τις εξισώσεις ώστε να απαλειφθεί το y. 2x=8 ⇒ x=4; y=7−4=3 Έλεγξε το ζεύγος και στις δύο εξισώσεις. x=4, y=3
Βασικό8 λεπτά
Λύσε y=2x−4, x+y=8.
Υπόδειξη
Αντικατάστησε την πρώτη έκφραση για y στη δεύτερη εξίσωση.
Οδηγός απάντησης
Αντικατάστησε την πρώτη έκφραση για y στη δεύτερη εξίσωση. x+2x−4=8 ⇒ 3x=12 ⇒ x=4; y=4 Και τα δύο μέλη της δεύτερης εξίσωσης δίνουν 8. x=4, y=4
Εμβάθυνση8 λεπτά
Δύο τύποι εισιτηρίων κοστίζουν 2€ και 3€. Πωλήθηκαν 7 εισιτήρια αντί 17€. Βρες πόσα από κάθε τύπο.
Υπόδειξη
Όρισε x τα εισιτήρια των 2€ και y των 3€.
Οδηγός απάντησης
Όρισε x τα εισιτήρια των 2€ και y των 3€. x+y=7; 2x+3y=17; 2x+2y=14; y=17−14=3; x=7−3=4 Αφαιρέσαμε τη διπλάσια πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη. Τα πλήθη είναι μη αρνητικοί ακέραιοι και επαληθεύουν το συνολικό ποσό. 4 × 2€, 3 × 3€
Εμβάθυνση8 λεπτά
Έχει λύση το σύστημα x+y=4, 2x+2y=9;
Υπόδειξη
Διπλασίασε την πρώτη εξίσωση.
Οδηγός απάντησης
Διπλασίασε την πρώτη εξίσωση. 2x+2y=8 Η δεύτερη ζητά διαφορετικό άθροισμα 9 για την ίδια παράσταση. Αδύνατο σύστημα: καμία λύση.
Πρόκληση8 λεπτά
Πόσες λύσεις έχει x+y=4, 2x+2y=8; Γράψε γενική μορφή.
Υπόδειξη
Η δεύτερη εξίσωση είναι διπλάσια της πρώτης.
Οδηγός απάντησης
Η δεύτερη εξίσωση είναι διπλάσια της πρώτης. Δεν προσθέτει ανεξάρτητο περιορισμό. y=4−x Άπειρες: (x, 4−x), x∈ℝ.
Πρόκληση8 λεπτά
Λύσε 2x+y=11, x+2y=10.
Υπόδειξη
Διπλασίασε τη δεύτερη και αφαίρεσε την πρώτη.
Οδηγός απάντησης
Διπλασίασε τη δεύτερη και αφαίρεσε την πρώτη. 3y=9 ⇒ y=3; x=4 Έλεγχος: 2·4+3=11 και 4+2·3=10. x=4, y=3
45 λεπτά / 40 βαθμοί
Πλήρες test κεφαλαίου
Χρονομετρημένο διαγώνισμα αυτοαξιολόγησης με πλήρη βαθμολογία και ενδεικτικές απαντήσεις.
Γράψε τα βήματα, τις μονάδες και τον τελικό έλεγχο. Δεκτές ισοδύναμες σωστές λύσεις. Ο χρόνος είναι ενδεικτικός για επανάληψη, όχι επίσημη εξέταση.
1. Λύσε x+y=9, x−y=1.
5 βαθμοίΟδηγός απάντησης
Πρόσθεσε τις εξισώσεις ώστε να απαλειφθεί το y. 2x=10 ⇒ x=5; y=9−5=4 Έλεγξε το ζεύγος και στις δύο εξισώσεις. x=5, y=4
2. Λύσε y=2x−5, x+y=10.
5 βαθμοίΟδηγός απάντησης
Αντικατάστησε την πρώτη έκφραση για y στη δεύτερη εξίσωση. x+2x−5=10 ⇒ 3x=15 ⇒ x=5; y=5 Και τα δύο μέλη της δεύτερης εξίσωσης δίνουν 10. x=5, y=5
3. Δύο τύποι εισιτηρίων κοστίζουν 2€ και 3€. Πωλήθηκαν 9 εισιτήρια αντί 22€. Βρες πόσα από κάθε τύπο.
5 βαθμοίΟδηγός απάντησης
Όρισε x τα εισιτήρια των 2€ και y των 3€. x+y=9; 2x+3y=22; 2x+2y=18; y=22−18=4; x=9−4=5 Αφαιρέσαμε τη διπλάσια πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη. Τα πλήθη είναι μη αρνητικοί ακέραιοι και επαληθεύουν το συνολικό ποσό. 5 × 2€, 4 × 3€
4. Έχει λύση το σύστημα x+y=5, 2x+2y=11;
5 βαθμοίΟδηγός απάντησης
Διπλασίασε την πρώτη εξίσωση. 2x+2y=10 Η δεύτερη ζητά διαφορετικό άθροισμα 11 για την ίδια παράσταση. Αδύνατο σύστημα: καμία λύση.
5. Πόσες λύσεις έχει x+y=5, 2x+2y=10; Γράψε γενική μορφή.
5 βαθμοίΟδηγός απάντησης
Η δεύτερη εξίσωση είναι διπλάσια της πρώτης. Δεν προσθέτει ανεξάρτητο περιορισμό. y=5−x Άπειρες: (x, 5−x), x∈ℝ.
6. Λύσε 2x+y=14, x+2y=13.
5 βαθμοίΟδηγός απάντησης
Διπλασίασε τη δεύτερη και αφαίρεσε την πρώτη. 3y=12 ⇒ y=4; x=5 Έλεγχος: 2·5+4=14 και 5+2·4=13. x=5, y=4
7. Οι ευθείες y=x+4 και y=−x+14 τέμνονται. Βρες το σημείο τομής.
5 βαθμοίΟδηγός απάντησης
Στην τομή οι δύο εκφράσεις του y είναι ίσες. x+4=−x+14 ⇒ 2x=10 ⇒ x=5; y=9 Το σημείο πρέπει να ανήκει και στις δύο ευθείες. (5, 9)
8. Το ζεύγος (5,4) ικανοποιεί x+y=9. Αρκεί αυτό για να λύνει και x−y=0;
5 βαθμοίΟδηγός απάντησης
Λύση συστήματος σημαίνει ότι ισχύουν όλες οι εξισώσεις μαζί. 5−4=1≠0 Το ζεύγος απορρίπτεται, παρότι ικανοποιεί την πρώτη εξίσωση. Όχι: δεν ικανοποιεί τη δεύτερη.
Ενότητα
Επίσημες πηγές και επαλήθευση
Πηγές αναφοράς για το curriculum. Η σειρά διδασκαλίας επιβεβαιώνεται πάντα με το σχολείο και τον καθηγητή.
Μαθηματικά
Έτος-γέφυρα για το Λύκειο: χρειάζεται άνεση σε αλγεβρικό χειρισμό και βασική αποδεικτική σκέψη.
Τι καλύπτει το κεφάλαιο
Η δομή βασίζεται στη διάρθρωση του σχολικού βιβλίου και χρησιμοποιείται για να οργανωθεί η μελέτη.
Αντικατάσταση και απαλοιφή
Γραφική ερμηνεία
Μοντελοποίηση και έλεγχος
Πού να δώσεις προσοχή
Τα σημεία που συνήθως δημιουργούν λάθη ή χρειάζονται περισσότερη επανάληψη.
Λύνω χωρίς βοήθεια και ελέγχω: Αντικατάσταση και απαλοιφή.
Λύνω χωρίς βοήθεια και ελέγχω: Γραφική ερμηνεία.
Λύνω χωρίς βοήθεια και ελέγχω: Μοντελοποίηση και έλεγχος.
Πηγές και καθημερινό υλικό
Πού ξεκινάς: σχολικό βιβλίο, καθημερινό υλικό, PDFs, videos και worked examples.
Ξεκίνα από το επίσημο βιβλίο ή specification που αναφέρεται στη σελίδα του μαθήματος.
Χρησιμοποίησε τις σημειώσεις και τα παραδείγματα ως βοήθημα, όχι ως αντικατάσταση της επίσημης ύλης.
Έλεγξε την τρέχουσα έκδοση του syllabus πριν από εξεταστική προετοιμασία.
Practice ανά υποενότητα
Στοχευμένη εξάσκηση πριν πας σε full tests, ώστε να φαίνεται καθαρά τι έχει καλυφθεί.
Λύσε x+y=5, x−y=1.
Λύσε y=2x−3, x+y=6.
Δύο τύποι εισιτηρίων κοστίζουν 2€ και 3€. Πωλήθηκαν 5 εισιτήρια αντί 12€. Βρες πόσα από κάθε τύπο.
Έχει λύση το σύστημα x+y=3, 2x+2y=7;
Πόσες λύσεις έχει x+y=3, 2x+2y=6; Γράψε γενική μορφή.
Λύσε 2x+y=8, x+2y=7.
Οι ευθείες y=x+2 και y=−x+8 τέμνονται. Βρες το σημείο τομής.
Το ζεύγος (3,2) ικανοποιεί x+y=5. Αρκεί αυτό για να λύνει και x−y=0;
Mocks και έλεγχος προόδου
Πώς μετράμε πρόοδο σε αυτό το κεφάλαιο και πότε μπαίνει σε συνολικό διαγώνισμα.
Κάνε πρώτα untimed practice ανά subtopic.
Πέρασε σε μικρό timed checkpoint μόνο όταν ολοκληρώσεις το mastery checklist.
Κατέγραψε κάθε λάθος μαζί με τη σωστή μέθοδο και επανέλεγξέ το μετά από 48 ώρες.
Επόμενο βήμα
Τι κάνεις όταν ολοκληρωθεί το κεφάλαιο και πώς συνδέεται με την επόμενη ενότητα.
Ολοκλήρωσε το practice χωρίς βοήθεια.
Εξήγησε προφορικά τη βασική μέθοδο σε λιγότερο από δύο λεπτά.
Συνέχισε στο επόμενο κεφάλαιο ή ζήτησε στοχευμένη βοήθεια από καθηγητή.
Σημείωση: για επίσημη εξεταστέα ύλη κάθε σχολικής χρονιάς επιβεβαίωσε πάντα με το σχολείο, τον καθηγητή και τις τρέχουσες ανακοινώσεις/πηγές ΥΠΑΙΘ και ΙΕΠ.