Πανελλήνιες · 90 λεπτά · 40 βαθμοί
Κεφάλαιο 1: Όριο - Συνέχεια συνάρτησης · Κεφάλαιο 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός
Πρωτότυπο πιλοτικό υλικό — αναμένεται έλεγχος εκπαιδευτικού Συντάχθηκε ειδικά για το YourFavTeacher με υποστήριξη AI, χωρίς αντιγραφή εκφωνήσεων παλιών θεμάτων. Οι τεχνικοί και αριθμητικοί έλεγχοι δεν αντικαθιστούν έλεγχο εκπαιδευτικού. Δεν είναι επίσημο θέμα ούτε πιστοποιημένο από φορέα.
Υλικά: Μολύβι, χαρτί και χάρακας. Άφησε το π ως σύμβολο όπου χρειάζεται. · Τα αριθμητικά δεδομένα δεν απαιτούν αριθμομηχανή. Δεν πρόκειται για κανόνα επίσημης εξέτασης.
Πήγαινε στις ερωτήσειςΛύσε πρώτα σε χαρτί. Οι λύσεις παραμένουν κλειστές μέχρι να τις επιλέξεις. Η βαθμολόγηση είναι οδηγός αυτοελέγχου, όχι αυτόματη ή επίσημη αξιολόγηση.
Βρες lim(x→6) (x²−36)/(x−6).
Η μορφή 0/0 δεν είναι απάντηση: παραγοντοποίησε.
(x²−36)/(x−6)=x+6, x≠6
Καθώς x→6, το x+6→12.
12
Για x<0 είναι f(x)=x+7, ενώ για x≥0 είναι f(x)=6x+8. Υπάρχει όριο στο 0;
Το αριστερό όριο είναι 7.
Το δεξιό όριο είναι 8.
Τα πλευρικά όρια είναι διαφορετικά.
Δεν υπάρχει δίπλευρο όριο ούτε συνέχεια στο 0.
Δείξε ότι η g(x)=x³+x−7 έχει ρίζα στο (0,7).
Η g είναι πολυώνυμο, άρα συνεχής στο κλειστό διάστημα.
g(0)=−7<0; g(7)=343>0
Το θεώρημα Bolzano εγγυάται τουλάχιστον μία ρίζα στο ανοικτό διάστημα.
Υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα· μόνο αυτό τεκμηριώθηκε εδώ.
Αν f(7)=6, μπορούμε μόνο από αυτό να συμπεράνουμε lim(x→7)f(x)=6;
Το όριο αφορά τιμές σε γειτονιά, όχι μόνο την τιμή στο σημείο.
Αν f(x)=0 για x≠7 και f(7)=6, το όριο είναι 0.
Αυτό δίνει αντιπαράδειγμα στον ισχυρισμό.
Όχι χωρίς πρόσθετη πληροφορία, όπως συνέχεια.
Υπολόγισε το ορισμένο ολοκλήρωμα της f(x)=2x+7 από x=0 έως x=6.
Διάλεξε αρχική F(x)=x²+7x.
F(6)−F(0)=36+42−0
Η παράγωγος της F είναι η ολοκληρωτέα συνάρτηση.
78
Βρες το εμβαδόν μεταξύ y=7x και y=6x για 0≤x≤2.
Για x≥0 η πρώτη ευθεία είναι πάνω από τη δεύτερη. Ολοκλήρωσε τη διαφορά από 0 έως 2.
F(x)=(7−6)x²/2=x²/2; E=F(2)−F(0)=2²/2−0=2
Η διαφορά είναι μη αρνητική στο δοσμένο διάστημα.
2
Για f(x)=x στο [−6,6], υπολόγισε ορισμένο ολοκλήρωμα και συνολικό γεωμετρικό εμβαδόν.
F(x)=x²/2; F(6)−F(−6)=6²/2−(−6)²/2=0
Κάθε τρίγωνο έχει εμβαδόν 6·6/2=36/2.
Τα γεωμετρικά εμβαδά προστίθενται: 36/2+36/2=36.
Ολοκλήρωμα 0· εμβαδόν 36.
Η f(x)=−7 στο [0,6]. Είναι το εμβαδόν ίσο με το ολοκλήρωμα; Υπολόγισε και τα δύο.
F(x)=−7x; F(6)−F(0)=−7·6−0=−42
Η γραφική παράσταση είναι κάτω από τον άξονα x.
E=|−42|=42
Όχι: ολοκλήρωμα −42, εμβαδόν 42.
Πρωτότυπη σύνταξη για το YourFavTeacher με υποστήριξη AI.
Οι επίσημες πηγές ελέγχθηκαν μόνο ως αναφορές θεματικών και επιπέδου. Δεν αντιγράφηκαν ή παραλλάχθηκαν συγκεκριμένες εκφωνήσεις, σχήματα ή λύσεις παλιών θεμάτων. Δεν δηλώνεται εξωτερική έγκριση ή άδεια αναδημοσίευσης τρίτων θεμάτων.
Έκδοση:
Κατέγραψε τα λάθη σου, επέστρεψε στο σχετικό κεφάλαιο και ζήτησε εξήγηση από καθηγητή αν χρειάζεσαι βοήθεια.
