Цілі навчання
- I can evaluate limits using an appropriate transformation.
- I can check one-sided limits and continuity.
- I can apply the intermediate value theorem with its assumptions.
Panhellenic Exams / Mathematics / Curriculum
Κεφάλαιο 1: Όριο - Συνέχεια συνάρτησης
Κεφάλαιο 1: Όριο - Συνέχεια συνάρτησης: structured theory, worked examples, answered practice, and a mastery checklist for Panhellenic Exams.
ПЛАН РОЗДІЛУ
Вивчайте, тренуйтеся та перевіряйте прогрес
Ідіть за кроками або переходьте одразу до потрібного розділу.
—/5
завершено
Орієнтовний активний час
181 хв
1. Зрозуміти
Цілі, ключові ідеї та структурована теорія.
Відкрити →2. Опанувати метод
Розв’язані приклади з поясненням кроків.
Відкрити →3. Практика
Різнорівневі завдання з підказками й відповідями.
Відкрити →4. Закріпити
Завдання від базового рівня до складних.
Відкрити →5. Перевірити
Тест із таймером, балами та розв’язаннями.
Відкрити →
Прогрес зберігається лише в цьому браузері й не потребує AI-кредитів.
Ключові ідеї та перевірки
- A limit describes what f(x) approaches, not necessarily f(x₀).
- A finite two-sided limit exists when both one-sided limits exist and agree.
- Continuity at x₀ requires f(x₀) to be defined and lim(x→x₀)f(x)=f(x₀).
Розділ
Основна теорія
Ключові ідеї глави у зрозумілій послідовності перед практикою.
Limits and domain
Approach the point through the function's domain. A function may have a limit at a point where the function itself is undefined.
The indeterminate form 0/0
0/0 is not an answer. For rational expressions, factor and cancel for x≠x₀. For radicals, rationalisation may help. Then evaluate the equivalent expression's limit.
Continuity and the intermediate value theorem
For continuity, check both limit and value. A function continuous on [a,b] with opposite endpoint signs has at least one root in (a,b) by the intermediate value theorem, not necessarily a unique root.
Mathematics
Розв'язані приклади
Дотримуйтесь методу крок за кроком і перевіряйте обґрунтування.
A limit by factorisation
Evaluate lim(x→2) (x²−4)/(x−2).
- 1Direct substitution gives 0/0, so transform the expression.
- 2x²−4=(x−2)(x+2).
- 3For x≠2, cancel to get x+2. As x→2, x+2 tends to 4.
4
Continuity at a point
For x≠2, f(x)=(x²−4)/(x−2). How should f(2) be defined for continuity?
- 1The limit at 2 is 4, by factorisation.
- 2Continuity requires the value to equal the limit, so define f(2)=4.
f(2)=4
Κεφάλαιο 1: Όριο - Συνέχεια συνάρτησης
Практика з відповідями
Вісім завдань від базових навичок до екзаменаційного рівня. Спочатку виконайте самостійно.
Базова навичка5 хвилин
Find lim(x→2) (3x + 1).
Підказка
A polynomial is continuous: substitute for x.
Відповідь
3·2 + 1 = 7
Базова навичка6 хвилин
Find lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2).
Підказка
Factor the difference of squares and cancel only away from the limit point.
Відповідь
For x ≠ 2, the quotient equals x + 2. The limit is 4.
Застосування7 хвилин
Let f(x)=(x² − 4)/(x − 2) for x≠2, and f(2)=k. Which k makes f continuous?
Підказка
The function value must equal the limit.
Відповідь
k = 4
Застосування8 хвилин
For x<0, f(x)=3; for x≥0, f(x)=4. Does lim(x→0) f(x) exist?
Підказка
Calculate the two one-sided limits.
Відповідь
No: left-hand 3, right-hand 4.
Обґрунтування9 хвилин
Find the one-sided limits of |x|/x at 0.
Підказка
For x<0, |x|=−x; for x>0, |x|=x.
Відповідь
Left-hand −1, right-hand 1. The two-sided limit does not exist.
Обґрунтування10 хвилин
Find lim(x→4) (√x − 2)/(x − 4).
Підказка
Rationalise to obtain 1/(√x+2) for x≠4.
Відповідь
1/4
Екзаменаційний11 хвилин
Let f(x)=x+3 for x<2 and f(x)=2x+k for x≥2. Find k for continuity at 2.
Підказка
Equate the left limit and the second expression's value.
Відповідь
2+3=2·2+k ⇒ k=1
Екзаменаційний12 хвилин
Find lim(x→+∞) (3x²+2)/(2x²+1).
Підказка
Divide numerator and denominator by x².
Відповідь
3/2
Типові помилки
- Giving 0/0 as a final answer.
- Cancelling without retaining x≠x₀.
- Confusing existence of a limit with continuity.
Перевірка розуміння
- I can evaluate limits using an appropriate transformation.
- I can check one-sided limits and continuity.
- I can apply the intermediate value theorem with its assumptions.
Κεφάλαιο 1: Όριο - Συνέχεια συνάρτησης
Домашня робота до розділу
Шість різних завдань від базового рівня до складного з часом, підказками та відповідями.
Базовий8 хвилин
Find lim(x→3) (4x + 1).
Підказка
A polynomial is continuous: substitute for x.
Відповідь
4·3 + 1 = 13
Базовий8 хвилин
Find lim(x→3) (x² − 9)/(x − 3).
Підказка
Factor the difference of squares and cancel only away from the limit point.
Відповідь
For x ≠ 3, the quotient equals x + 3. The limit is 6.
Поглиблений8 хвилин
Let f(x)=(x² − 9)/(x − 3) for x≠3, and f(3)=k. Which k makes f continuous?
Підказка
The function value must equal the limit.
Відповідь
k = 6
Поглиблений8 хвилин
For x<0, f(x)=4; for x≥0, f(x)=5. Does lim(x→0) f(x) exist?
Підказка
Calculate the two one-sided limits.
Відповідь
No: left-hand 4, right-hand 5.
Складний8 хвилин
Find the one-sided limits of |x|/x at 0.
Підказка
For x<0, |x|=−x; for x>0, |x|=x.
Відповідь
Left-hand −1, right-hand 1. The two-sided limit does not exist.
Складний8 хвилин
Find lim(x→9) (√x − 3)/(x − 9).
Підказка
Rationalise to obtain 1/(√x+3) for x≠9.
Відповідь
1/6
50 хвилин / 40 балів
Повний тест розділу
Повний тест із таймером, балами та зразками відповідей.
Show your working and justify each theorem's assumptions. Check the answers after finishing.
1. Find lim(x→4) (5x + 1).
4 балівВідповідь
5·4 + 1 = 21
2. Find lim(x→4) (x² − 16)/(x − 4).
4 балівВідповідь
For x ≠ 4, the quotient equals x + 4. The limit is 8.
3. Let f(x)=(x² − 16)/(x − 4) for x≠4, and f(4)=k. Which k makes f continuous?
4 балівВідповідь
k = 8
4. For x<0, f(x)=5; for x≥0, f(x)=6. Does lim(x→0) f(x) exist?
4 балівВідповідь
No: left-hand 5, right-hand 6.
5. Find the one-sided limits of |x|/x at 0.
4 балівВідповідь
Left-hand −1, right-hand 1. The two-sided limit does not exist.
6. Find lim(x→16) (√x − 4)/(x − 16).
4 балівВідповідь
1/8
7. Let f(x)=x+5 for x<4 and f(x)=2x+k for x≥4. Find k for continuity at 4.
4 балівВідповідь
4+5=2·4+k ⇒ k=1
8. Find lim(x→+∞) (5x²+4)/(2x²+1).
4 балівВідповідь
5/2
9. Find lim(x→0) 5x/(√(1+x)+1).
4 балівВідповідь
0/2 = 0
10. Show that g(x)=x³+x−5 has at least one root in (0, 5).
4 балівВідповідь
g is continuous on [0, 5], g(0)=−5<0 and g(5)=125>0. The intermediate value theorem gives a root in (0, 5).
Розділ
Офіційні джерела
Джерела програми; порядок тем уточнюйте у школі та викладача.
Mathematics
Panhellenic Exams: структурований маршрут з математики та фізики з розділами, практикою і наступними кроками.
Що покриває глава
Структура відповідає підручнику й допомагає організувати вивчення теми.
Πραγματικοί αριθμοί
Συναρτήσεις
Μονοτονία
Ακρότατα
Συμμετρίες
Αντίστροφη συνάρτηση
Όριο συνάρτησης στο `x0`
Ιδιότητες ορίων
Μη πεπερασμένο όριο
Όρια στο άπειρο
Συνέχεια συνάρτησης
Θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων
На чому сфокусуватися
Теми, де найчастіше виникають помилки або потрібна додаткова практика.
I can evaluate limits using an appropriate transformation.
I can check one-sided limits and continuity.
I can apply the intermediate value theorem with its assumptions.
Джерела, щоденні матеріали та ресурси
З чого почати: підручник, daily material, PDFs, videos і worked examples.
Start from the official textbook or specification referenced on the subject page.
Use the notes and examples as support, not as a replacement for the official syllabus.
Check the current syllabus version before exam preparation.
Практика за підтемами
Цільова практика перед full tests, щоб coverage було зрозумілим.
Find lim(x→2) (3x + 1).
Find lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2).
Let f(x)=(x² − 4)/(x − 2) for x≠2, and f(2)=k. Which k makes f continuous?
For x<0, f(x)=3; for x≥0, f(x)=4. Does lim(x→0) f(x) exist?
Find the one-sided limits of |x|/x at 0.
Find lim(x→4) (√x − 2)/(x − 4).
Let f(x)=x+3 for x<2 and f(x)=2x+k for x≥2. Find k for continuity at 2.
Find lim(x→+∞) (3x²+2)/(2x²+1).
Mocks і перевірка прогресу
Як вимірювати прогрес у главі і коли додавати її до загального mock.
Start with untimed practice by subtopic.
Move to a short timed checkpoint only after completing the mastery checklist.
Record each error with the correct method and revisit it after 48 hours.
Наступний крок
Що робити після глави і як вона пов'язана з наступним розділом.
Complete the practice without support.
Explain the core method aloud in under two minutes.
Continue to the next chapter or request targeted tutor support.
Примітка: офіційну екзаменаційну програму кожного року завжди уточнюйте у школі, викладача та за поточними офіційними джерелами.