Цілі навчання
- I can evaluate limits using an appropriate transformation.
- I can check one-sided limits and continuity.
- I can apply the intermediate value theorem with its assumptions.
Greek Lyceum Grade 3 / Mathematics / Curriculum
Όρια και συνέχεια
Όρια και συνέχεια: structured theory, worked examples, answered practice, and a mastery checklist for Greek Lyceum Grade 3.
ПЛАН РОЗДІЛУ
Вивчайте, тренуйтеся та перевіряйте прогрес
Ідіть за кроками або переходьте одразу до потрібного розділу.
—/5
завершено
Орієнтовний активний час
181 хв
1. Зрозуміти
Цілі, ключові ідеї та структурована теорія.
Відкрити →2. Опанувати метод
Розв’язані приклади з поясненням кроків.
Відкрити →3. Практика
Різнорівневі завдання з підказками й відповідями.
Відкрити →4. Закріпити
Завдання від базового рівня до складних.
Відкрити →5. Перевірити
Тест із таймером, балами та розв’язаннями.
Відкрити →
Прогрес зберігається лише в цьому браузері й не потребує AI-кредитів.
Ключові ідеї та перевірки
- A limit describes what f(x) approaches, not necessarily f(x₀).
- A finite two-sided limit exists when both one-sided limits exist and agree.
- Continuity at x₀ requires f(x₀) to be defined and lim(x→x₀)f(x)=f(x₀).
Розділ
Основна теорія
Ключові ідеї глави у зрозумілій послідовності перед практикою.
Limits and domain
Approach the point through the function's domain. A function may have a limit at a point where the function itself is undefined.
The indeterminate form 0/0
0/0 is not an answer. For rational expressions, factor and cancel for x≠x₀. For radicals, rationalisation may help. Then evaluate the equivalent expression's limit.
Continuity and the intermediate value theorem
For continuity, check both limit and value. A function continuous on [a,b] with opposite endpoint signs has at least one root in (a,b) by the intermediate value theorem, not necessarily a unique root.
Mathematics
Розв'язані приклади
Дотримуйтесь методу крок за кроком і перевіряйте обґрунтування.
A limit by factorisation
Evaluate lim(x→2) (x²−4)/(x−2).
- 1Direct substitution gives 0/0, so transform the expression.
- 2x²−4=(x−2)(x+2).
- 3For x≠2, cancel to get x+2. As x→2, x+2 tends to 4.
4
Continuity at a point
For x≠2, f(x)=(x²−4)/(x−2). How should f(2) be defined for continuity?
- 1The limit at 2 is 4, by factorisation.
- 2Continuity requires the value to equal the limit, so define f(2)=4.
f(2)=4
Όρια και συνέχεια
Практика з відповідями
Вісім завдань від базових навичок до екзаменаційного рівня. Спочатку виконайте самостійно.
Базова навичка5 хвилин
Find lim(x→2) (3x + 1).
Підказка
A polynomial is continuous: substitute for x.
Відповідь
3·2 + 1 = 7
Базова навичка6 хвилин
Find lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2).
Підказка
Factor the difference of squares and cancel only away from the limit point.
Відповідь
For x ≠ 2, the quotient equals x + 2. The limit is 4.
Застосування7 хвилин
Let f(x)=(x² − 4)/(x − 2) for x≠2, and f(2)=k. Which k makes f continuous?
Підказка
The function value must equal the limit.
Відповідь
k = 4
Застосування8 хвилин
For x<0, f(x)=3; for x≥0, f(x)=4. Does lim(x→0) f(x) exist?
Підказка
Calculate the two one-sided limits.
Відповідь
No: left-hand 3, right-hand 4.
Обґрунтування9 хвилин
Find the one-sided limits of |x|/x at 0.
Підказка
For x<0, |x|=−x; for x>0, |x|=x.
Відповідь
Left-hand −1, right-hand 1. The two-sided limit does not exist.
Обґрунтування10 хвилин
Find lim(x→4) (√x − 2)/(x − 4).
Підказка
Rationalise to obtain 1/(√x+2) for x≠4.
Відповідь
1/4
Екзаменаційний11 хвилин
Let f(x)=x+3 for x<2 and f(x)=2x+k for x≥2. Find k for continuity at 2.
Підказка
Equate the left limit and the second expression's value.
Відповідь
2+3=2·2+k ⇒ k=1
Екзаменаційний12 хвилин
Find lim(x→+∞) (3x²+2)/(2x²+1).
Підказка
Divide numerator and denominator by x².
Відповідь
3/2
Типові помилки
- Giving 0/0 as a final answer.
- Cancelling without retaining x≠x₀.
- Confusing existence of a limit with continuity.
Перевірка розуміння
- I can evaluate limits using an appropriate transformation.
- I can check one-sided limits and continuity.
- I can apply the intermediate value theorem with its assumptions.
Όρια και συνέχεια
Домашня робота до розділу
Шість різних завдань від базового рівня до складного з часом, підказками та відповідями.
Базовий8 хвилин
Find lim(x→3) (4x + 1).
Підказка
A polynomial is continuous: substitute for x.
Відповідь
4·3 + 1 = 13
Базовий8 хвилин
Find lim(x→3) (x² − 9)/(x − 3).
Підказка
Factor the difference of squares and cancel only away from the limit point.
Відповідь
For x ≠ 3, the quotient equals x + 3. The limit is 6.
Поглиблений8 хвилин
Let f(x)=(x² − 9)/(x − 3) for x≠3, and f(3)=k. Which k makes f continuous?
Підказка
The function value must equal the limit.
Відповідь
k = 6
Поглиблений8 хвилин
For x<0, f(x)=4; for x≥0, f(x)=5. Does lim(x→0) f(x) exist?
Підказка
Calculate the two one-sided limits.
Відповідь
No: left-hand 4, right-hand 5.
Складний8 хвилин
Find the one-sided limits of |x|/x at 0.
Підказка
For x<0, |x|=−x; for x>0, |x|=x.
Відповідь
Left-hand −1, right-hand 1. The two-sided limit does not exist.
Складний8 хвилин
Find lim(x→9) (√x − 3)/(x − 9).
Підказка
Rationalise to obtain 1/(√x+3) for x≠9.
Відповідь
1/6
50 хвилин / 40 балів
Повний тест розділу
Повний тест із таймером, балами та зразками відповідей.
Show your working and justify each theorem's assumptions. Check the answers after finishing.
1. Find lim(x→4) (5x + 1).
4 балівВідповідь
5·4 + 1 = 21
2. Find lim(x→4) (x² − 16)/(x − 4).
4 балівВідповідь
For x ≠ 4, the quotient equals x + 4. The limit is 8.
3. Let f(x)=(x² − 16)/(x − 4) for x≠4, and f(4)=k. Which k makes f continuous?
4 балівВідповідь
k = 8
4. For x<0, f(x)=5; for x≥0, f(x)=6. Does lim(x→0) f(x) exist?
4 балівВідповідь
No: left-hand 5, right-hand 6.
5. Find the one-sided limits of |x|/x at 0.
4 балівВідповідь
Left-hand −1, right-hand 1. The two-sided limit does not exist.
6. Find lim(x→16) (√x − 4)/(x − 16).
4 балівВідповідь
1/8
7. Let f(x)=x+5 for x<4 and f(x)=2x+k for x≥4. Find k for continuity at 4.
4 балівВідповідь
4+5=2·4+k ⇒ k=1
8. Find lim(x→+∞) (5x²+4)/(2x²+1).
4 балівВідповідь
5/2
9. Find lim(x→0) 5x/(√(1+x)+1).
4 балівВідповідь
0/2 = 0
10. Show that g(x)=x³+x−5 has at least one root in (0, 5).
4 балівВідповідь
g is continuous on [0, 5], g(0)=−5<0 and g(5)=125>0. The intermediate value theorem gives a root in (0, 5).
Розділ
Офіційні джерела
Джерела програми; порядок тем уточнюйте у школі та викладача.
Mathematics
Greek Lyceum Grade 3: структурований маршрут з математики та фізики з розділами, практикою і наступними кроками.
Що покриває глава
Структура відповідає підручнику й допомагає організувати вивчення теми.
Όριο σε σημείο
Πλευρικά όρια
Πράξεις ορίων
Άπειρα όρια
Όρια στο άπειρο
Συνέχεια
Θεώρημα Bolzano
Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών
Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής
На чому сфокусуватися
Теми, де найчастіше виникають помилки або потрібна додаткова практика.
I can evaluate limits using an appropriate transformation.
I can check one-sided limits and continuity.
I can apply the intermediate value theorem with its assumptions.
Джерела, щоденні матеріали та ресурси
З чого почати: підручник, daily material, PDFs, videos і worked examples.
Start from the official textbook or specification referenced on the subject page.
Use the notes and examples as support, not as a replacement for the official syllabus.
Check the current syllabus version before exam preparation.
Практика за підтемами
Цільова практика перед full tests, щоб coverage було зрозумілим.
Find lim(x→2) (3x + 1).
Find lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2).
Let f(x)=(x² − 4)/(x − 2) for x≠2, and f(2)=k. Which k makes f continuous?
For x<0, f(x)=3; for x≥0, f(x)=4. Does lim(x→0) f(x) exist?
Find the one-sided limits of |x|/x at 0.
Find lim(x→4) (√x − 2)/(x − 4).
Let f(x)=x+3 for x<2 and f(x)=2x+k for x≥2. Find k for continuity at 2.
Find lim(x→+∞) (3x²+2)/(2x²+1).
Mocks і перевірка прогресу
Як вимірювати прогрес у главі і коли додавати її до загального mock.
Start with untimed practice by subtopic.
Move to a short timed checkpoint only after completing the mastery checklist.
Record each error with the correct method and revisit it after 48 hours.
Наступний крок
Що робити після глави і як вона пов'язана з наступним розділом.
Complete the practice without support.
Explain the core method aloud in under two minutes.
Continue to the next chapter or request targeted tutor support.
Примітка: офіційну екзаменаційну програму кожного року завжди уточнюйте у школі, викладача та за поточними офіційними джерелами.