Цілі навчання
- I can find and check an antiderivative.
- I can evaluate a definite integral using its bounds.
- I can distinguish an integral from geometric area.
Greek Lyceum Grade 3 / Mathematics / Curriculum
Ολοκληρώματα
Ολοκληρώματα: structured theory, worked examples, answered practice, and a mastery checklist for Greek Lyceum Grade 3.
ПЛАН РОЗДІЛУ
Вивчайте, тренуйтеся та перевіряйте прогрес
Ідіть за кроками або переходьте одразу до потрібного розділу.
—/5
завершено
Орієнтовний активний час
181 хв
1. Зрозуміти
Цілі, ключові ідеї та структурована теорія.
Відкрити →2. Опанувати метод
Розв’язані приклади з поясненням кроків.
Відкрити →3. Практика
Різнорівневі завдання з підказками й відповідями.
Відкрити →4. Закріпити
Завдання від базового рівня до складних.
Відкрити →5. Перевірити
Тест із таймером, балами та розв’язаннями.
Відкрити →
Прогрес зберігається лише в цьому браузері й не потребує AI-кредитів.
Ключові ідеї та перевірки
- An antiderivative F of f satisfies F′=f on the interval.
- Antiderivatives on an interval differ by a constant C.
- For f continuous on [a,b], ∫a^b f(x)dx=F(b)−F(a).
Розділ
Основна теорія
Ключові ідеї глави у зрозумілій послідовності перед практикою.
Indefinite integration
Integrate term by term: ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C for n≠−1 on a suitable interval. Check by differentiating. An additional condition is needed to determine C.
Definite integration
Find an antiderivative and evaluate upper bound minus lower bound. The result is a number. Reversing the bounds changes the sign; splitting the interval gives a sum of integrals.
Area and sign
An integral is signed. For geometric area, split where the sign changes and add non-negative areas. Between two curves, integrate the upper function minus the lower on each interval.
Mathematics
Розв'язані приклади
Дотримуйтесь методу крок за кроком і перевіряйте обґрунтування.
Evaluate a definite integral
Evaluate ∫₀² (2x+1)dx.
- 1An antiderivative is F(x)=x²+x because F′(x)=2x+1.
- 2F(2)−F(0)=(4+2)−0=6.
6
Area does not cancel
For f(x)=x on [−2,2], find the integral and the area to the x-axis.
- 1∫₋₂² x dx = [x²/2]₋₂² = 2−2=0.
- 2f is negative on [−2,0] and positive on [0,2]. Each triangular region has area 2.
- 3Add the non-negative areas: 2+2=4.
Integral 0; area 4 square units.
Ολοκληρώματα
Практика з відповідями
Вісім завдань від базових навичок до екзаменаційного рівня. Спочатку виконайте самостійно.
Базова навичка5 хвилин
Find all antiderivatives of f(x)=6x+2.
Підказка
Integrate each term and add an arbitrary constant.
Відповідь
F(x)=3x²+2x+C, C∈ℝ.
Базова навичка6 хвилин
Evaluate ∫₀^2 6x dx.
Підказка
Use antiderivative 3x² and subtract its lower-bound value from its upper-bound value.
Відповідь
3·2² − 0 = 12
Застосування7 хвилин
Evaluate ∫_3^5 3 dx.
Підказка
For a constant function, multiply the constant by the interval length.
Відповідь
3·(5−3)=6
Застосування8 хвилин
Find F when F'(x)=6x+2 and F(0)=5.
Підказка
Find all antiderivatives, then use the initial condition to determine the constant.
Відповідь
F(x)=3x²+2x+5.
Обґрунтування9 хвилин
For f(x)=−3 on [0, 2], find the definite integral and the area to the x-axis.
Підказка
The integral is signed; geometric area is non-negative.
Відповідь
Integral = −6. Area = 6 square units.
Обґрунтування10 хвилин
For f(x)=x on [−2, 2], find the integral and the total area to the x-axis.
Підказка
Split at 0 where the sign changes.
Відповідь
Integral = 0. Area = 4 square units.
Екзаменаційний11 хвилин
Find the area between f(x)=3x and g(x)=2x for 0≤x≤2.
Підказка
f is above g. Integrate f−g=x.
Відповідь
∫₀^2 x dx = 4/2
Екзаменаційний12 хвилин
If G(x)=∫₀^x (6t+2)dt, find G'(x).
Підказка
The integrand is continuous: apply the fundamental theorem of calculus.
Відповідь
G'(x)=6x+2.
Типові помилки
- Omitting C from an indefinite integral.
- Subtracting upper-bound value from lower-bound value.
- Treating a signed integral as always equal to area.
Перевірка розуміння
- I can find and check an antiderivative.
- I can evaluate a definite integral using its bounds.
- I can distinguish an integral from geometric area.
Ολοκληρώματα
Домашня робота до розділу
Шість різних завдань від базового рівня до складного з часом, підказками та відповідями.
Базовий8 хвилин
Find all antiderivatives of f(x)=8x+3.
Підказка
Integrate each term and add an arbitrary constant.
Відповідь
F(x)=4x²+3x+C, C∈ℝ.
Базовий8 хвилин
Evaluate ∫₀^3 8x dx.
Підказка
Use antiderivative 4x² and subtract its lower-bound value from its upper-bound value.
Відповідь
4·3² − 0 = 36
Поглиблений8 хвилин
Evaluate ∫_4^7 3 dx.
Підказка
For a constant function, multiply the constant by the interval length.
Відповідь
3·(7−4)=9
Поглиблений8 хвилин
Find F when F'(x)=8x+3 and F(0)=5.
Підказка
Find all antiderivatives, then use the initial condition to determine the constant.
Відповідь
F(x)=4x²+3x+5.
Складний8 хвилин
For f(x)=−4 on [0, 3], find the definite integral and the area to the x-axis.
Підказка
The integral is signed; geometric area is non-negative.
Відповідь
Integral = −12. Area = 12 square units.
Складний8 хвилин
For f(x)=x on [−3, 3], find the integral and the total area to the x-axis.
Підказка
Split at 0 where the sign changes.
Відповідь
Integral = 0. Area = 9 square units.
50 хвилин / 40 балів
Повний тест розділу
Повний тест із таймером, балами та зразками відповідей.
Show your working and justify each theorem's assumptions. Check the answers after finishing.
1. Find all antiderivatives of f(x)=10x+4.
4 балівВідповідь
F(x)=5x²+4x+C, C∈ℝ.
2. Evaluate ∫₀^4 10x dx.
4 балівВідповідь
5·4² − 0 = 80
3. Evaluate ∫_5^9 3 dx.
4 балівВідповідь
3·(9−5)=12
4. Find F when F'(x)=10x+4 and F(0)=5.
4 балівВідповідь
F(x)=5x²+4x+5.
5. For f(x)=−5 on [0, 4], find the definite integral and the area to the x-axis.
4 балівВідповідь
Integral = −20. Area = 20 square units.
6. For f(x)=x on [−4, 4], find the integral and the total area to the x-axis.
4 балівВідповідь
Integral = 0. Area = 16 square units.
7. Find the area between f(x)=5x and g(x)=4x for 0≤x≤4.
4 балівВідповідь
∫₀^4 x dx = 16/2
8. If G(x)=∫₀^x (10t+4)dt, find G'(x).
4 балівВідповідь
G'(x)=10x+4.
9. If ∫₀^4 f(x)dx=5, what is ∫_4^0 f(x)dx?
4 балівВідповідь
−5
10. Find the area under f(x)=x(4−x) on [0, 4].
4 балівВідповідь
Area = [4x²/2−x³/3]₀^4 = 64/6 square units.
Розділ
Офіційні джерела
Джерела програми; порядок тем уточнюйте у школі та викладача.
Mathematics
Greek Lyceum Grade 3: структурований маршрут з математики та фізики з розділами, практикою і наступними кроками.
Що покриває глава
Структура відповідає підручнику й допомагає організувати вивчення теми.
Αρχική συνάρτηση
Ορισμένο ολοκλήρωμα
Ιδιότητες ολοκληρώματος
Θεμελιώδες Θεώρημα Ολοκληρωτικού Λογισμού
Εμβαδόν χωρίου
Σύνθετα θέματα
На чому сфокусуватися
Теми, де найчастіше виникають помилки або потрібна додаткова практика.
I can find and check an antiderivative.
I can evaluate a definite integral using its bounds.
I can distinguish an integral from geometric area.
Джерела, щоденні матеріали та ресурси
З чого почати: підручник, daily material, PDFs, videos і worked examples.
Start from the official textbook or specification referenced on the subject page.
Use the notes and examples as support, not as a replacement for the official syllabus.
Check the current syllabus version before exam preparation.
Практика за підтемами
Цільова практика перед full tests, щоб coverage було зрозумілим.
Find all antiderivatives of f(x)=6x+2.
Evaluate ∫₀^2 6x dx.
Evaluate ∫_3^5 3 dx.
Find F when F'(x)=6x+2 and F(0)=5.
For f(x)=−3 on [0, 2], find the definite integral and the area to the x-axis.
For f(x)=x on [−2, 2], find the integral and the total area to the x-axis.
Find the area between f(x)=3x and g(x)=2x for 0≤x≤2.
If G(x)=∫₀^x (6t+2)dt, find G'(x).
Mocks і перевірка прогресу
Як вимірювати прогрес у главі і коли додавати її до загального mock.
Start with untimed practice by subtopic.
Move to a short timed checkpoint only after completing the mastery checklist.
Record each error with the correct method and revisit it after 48 hours.
Наступний крок
Що робити після глави і як вона пов'язана з наступним розділом.
Complete the practice without support.
Explain the core method aloud in under two minutes.
Continue to the next chapter or request targeted tutor support.
Примітка: офіційну екзаменаційну програму кожного року завжди уточнюйте у школі, викладача та за поточними офіційними джерелами.