Цели обучения
- I can evaluate limits using an appropriate transformation.
- I can check one-sided limits and continuity.
- I can apply the intermediate value theorem with its assumptions.
Panhellenic Exams / Mathematics / Curriculum
Κεφάλαιο 1: Όριο - Συνέχεια συνάρτησης
Κεφάλαιο 1: Όριο - Συνέχεια συνάρτησης: structured theory, worked examples, answered practice, and a mastery checklist for Panhellenic Exams.
ПЛАН ГЛАВЫ
Изучайте, тренируйтесь и проверяйте прогресс
Следуйте шагам по порядку или переходите к нужному разделу.
—/5
завершено
Примерное активное время
181 мин
1. Понять
Цели, основные идеи и структурированная теория.
Открыть →2. Освоить метод
Решённые примеры с объяснением шагов.
Открыть →3. Практика
Задания разного уровня с подсказками и ответами.
Открыть →4. Закрепить
Задания от базового уровня до сложных.
Открыть →5. Проверить
Тест с таймером, баллами и решениями.
Открыть →
Прогресс хранится только в этом браузере и не требует AI-кредитов.
Ключевые идеи и проверки
- A limit describes what f(x) approaches, not necessarily f(x₀).
- A finite two-sided limit exists when both one-sided limits exist and agree.
- Continuity at x₀ requires f(x₀) to be defined and lim(x→x₀)f(x)=f(x₀).
Раздел
Основная теория
Ключевые идеи главы в понятной последовательности перед практикой.
Limits and domain
Approach the point through the function's domain. A function may have a limit at a point where the function itself is undefined.
The indeterminate form 0/0
0/0 is not an answer. For rational expressions, factor and cancel for x≠x₀. For radicals, rationalisation may help. Then evaluate the equivalent expression's limit.
Continuity and the intermediate value theorem
For continuity, check both limit and value. A function continuous on [a,b] with opposite endpoint signs has at least one root in (a,b) by the intermediate value theorem, not necessarily a unique root.
Mathematics
Разобранные примеры
Следуйте методу шаг за шагом и проверяйте обоснование каждого шага.
A limit by factorisation
Evaluate lim(x→2) (x²−4)/(x−2).
- 1Direct substitution gives 0/0, so transform the expression.
- 2x²−4=(x−2)(x+2).
- 3For x≠2, cancel to get x+2. As x→2, x+2 tends to 4.
4
Continuity at a point
For x≠2, f(x)=(x²−4)/(x−2). How should f(2) be defined for continuity?
- 1The limit at 2 is 4, by factorisation.
- 2Continuity requires the value to equal the limit, so define f(2)=4.
f(2)=4
Κεφάλαιο 1: Όριο - Συνέχεια συνάρτησης
Практика с ответами
Восемь заданий от базовых навыков до экзаменационного уровня. Сначала решите самостоятельно.
Базовый навык5 минут
Find lim(x→2) (3x + 1).
Подсказка
A polynomial is continuous: substitute for x.
Ответ
3·2 + 1 = 7
Базовый навык6 минут
Find lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2).
Подсказка
Factor the difference of squares and cancel only away from the limit point.
Ответ
For x ≠ 2, the quotient equals x + 2. The limit is 4.
Применение7 минут
Let f(x)=(x² − 4)/(x − 2) for x≠2, and f(2)=k. Which k makes f continuous?
Подсказка
The function value must equal the limit.
Ответ
k = 4
Применение8 минут
For x<0, f(x)=3; for x≥0, f(x)=4. Does lim(x→0) f(x) exist?
Подсказка
Calculate the two one-sided limits.
Ответ
No: left-hand 3, right-hand 4.
Обоснование9 минут
Find the one-sided limits of |x|/x at 0.
Подсказка
For x<0, |x|=−x; for x>0, |x|=x.
Ответ
Left-hand −1, right-hand 1. The two-sided limit does not exist.
Обоснование10 минут
Find lim(x→4) (√x − 2)/(x − 4).
Подсказка
Rationalise to obtain 1/(√x+2) for x≠4.
Ответ
1/4
Экзаменационный11 минут
Let f(x)=x+3 for x<2 and f(x)=2x+k for x≥2. Find k for continuity at 2.
Подсказка
Equate the left limit and the second expression's value.
Ответ
2+3=2·2+k ⇒ k=1
Экзаменационный12 минут
Find lim(x→+∞) (3x²+2)/(2x²+1).
Подсказка
Divide numerator and denominator by x².
Ответ
3/2
Частые ошибки
- Giving 0/0 as a final answer.
- Cancelling without retaining x≠x₀.
- Confusing existence of a limit with continuity.
Проверка понимания
- I can evaluate limits using an appropriate transformation.
- I can check one-sided limits and continuity.
- I can apply the intermediate value theorem with its assumptions.
Κεφάλαιο 1: Όριο - Συνέχεια συνάρτησης
Домашняя работа по главе
Шесть разных заданий от базового уровня до сложного с временем, подсказками и ответами.
Базовый8 минут
Find lim(x→3) (4x + 1).
Подсказка
A polynomial is continuous: substitute for x.
Ответ
4·3 + 1 = 13
Базовый8 минут
Find lim(x→3) (x² − 9)/(x − 3).
Подсказка
Factor the difference of squares and cancel only away from the limit point.
Ответ
For x ≠ 3, the quotient equals x + 3. The limit is 6.
Углубленный8 минут
Let f(x)=(x² − 9)/(x − 3) for x≠3, and f(3)=k. Which k makes f continuous?
Подсказка
The function value must equal the limit.
Ответ
k = 6
Углубленный8 минут
For x<0, f(x)=4; for x≥0, f(x)=5. Does lim(x→0) f(x) exist?
Подсказка
Calculate the two one-sided limits.
Ответ
No: left-hand 4, right-hand 5.
Сложный8 минут
Find the one-sided limits of |x|/x at 0.
Подсказка
For x<0, |x|=−x; for x>0, |x|=x.
Ответ
Left-hand −1, right-hand 1. The two-sided limit does not exist.
Сложный8 минут
Find lim(x→9) (√x − 3)/(x − 9).
Подсказка
Rationalise to obtain 1/(√x+3) for x≠9.
Ответ
1/6
50 минут / 40 баллов
Полный тест по главе
Полный тест с таймером, баллами и образцами ответов.
Show your working and justify each theorem's assumptions. Check the answers after finishing.
1. Find lim(x→4) (5x + 1).
4 балловОтвет
5·4 + 1 = 21
2. Find lim(x→4) (x² − 16)/(x − 4).
4 балловОтвет
For x ≠ 4, the quotient equals x + 4. The limit is 8.
3. Let f(x)=(x² − 16)/(x − 4) for x≠4, and f(4)=k. Which k makes f continuous?
4 балловОтвет
k = 8
4. For x<0, f(x)=5; for x≥0, f(x)=6. Does lim(x→0) f(x) exist?
4 балловОтвет
No: left-hand 5, right-hand 6.
5. Find the one-sided limits of |x|/x at 0.
4 балловОтвет
Left-hand −1, right-hand 1. The two-sided limit does not exist.
6. Find lim(x→16) (√x − 4)/(x − 16).
4 балловОтвет
1/8
7. Let f(x)=x+5 for x<4 and f(x)=2x+k for x≥4. Find k for continuity at 4.
4 балловОтвет
4+5=2·4+k ⇒ k=1
8. Find lim(x→+∞) (5x²+4)/(2x²+1).
4 балловОтвет
5/2
9. Find lim(x→0) 5x/(√(1+x)+1).
4 балловОтвет
0/2 = 0
10. Show that g(x)=x³+x−5 has at least one root in (0, 5).
4 балловОтвет
g is continuous on [0, 5], g(0)=−5<0 and g(5)=125>0. The intermediate value theorem gives a root in (0, 5).
Раздел
Официальные источники
Источники программы; порядок тем уточняйте в школе и у преподавателя.
Mathematics
Panhellenic Exams: структурированный маршрут по математике и физике с главами, практикой и следующими шагами.
Что покрывает глава
Структура следует учебнику и помогает организовать изучение темы.
Πραγματικοί αριθμοί
Συναρτήσεις
Μονοτονία
Ακρότατα
Συμμετρίες
Αντίστροφη συνάρτηση
Όριο συνάρτησης στο `x0`
Ιδιότητες ορίων
Μη πεπερασμένο όριο
Όρια στο άπειρο
Συνέχεια συνάρτησης
Θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων
Где сфокусироваться
Темы, где чаще возникают ошибки или нужна дополнительная практика.
I can evaluate limits using an appropriate transformation.
I can check one-sided limits and continuity.
I can apply the intermediate value theorem with its assumptions.
Источники, ежедневные материалы и ресурсы
С чего начать: учебник, daily material, PDFs, videos и worked examples.
Start from the official textbook or specification referenced on the subject page.
Use the notes and examples as support, not as a replacement for the official syllabus.
Check the current syllabus version before exam preparation.
Практика по подтемам
Целевая практика перед full tests, чтобы coverage было понятным.
Find lim(x→2) (3x + 1).
Find lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2).
Let f(x)=(x² − 4)/(x − 2) for x≠2, and f(2)=k. Which k makes f continuous?
For x<0, f(x)=3; for x≥0, f(x)=4. Does lim(x→0) f(x) exist?
Find the one-sided limits of |x|/x at 0.
Find lim(x→4) (√x − 2)/(x − 4).
Let f(x)=x+3 for x<2 and f(x)=2x+k for x≥2. Find k for continuity at 2.
Find lim(x→+∞) (3x²+2)/(2x²+1).
Mocks и проверка прогресса
Как измерять прогресс по главе и когда включать ее в общий mock.
Start with untimed practice by subtopic.
Move to a short timed checkpoint only after completing the mastery checklist.
Record each error with the correct method and revisit it after 48 hours.
Следующий шаг
Что делать после главы и как она связана со следующим разделом.
Complete the practice without support.
Explain the core method aloud in under two minutes.
Continue to the next chapter or request targeted tutor support.
Примечание: официальную экзаменационную программу каждого года всегда уточняйте в школе, у преподавателя и по текущим официальным источникам.