Цели обучения
- I can find and check an antiderivative.
- I can evaluate a definite integral using its bounds.
- I can distinguish an integral from geometric area.
Greek Lyceum Grade 3 / Mathematics / Curriculum
Ολοκληρώματα
Ολοκληρώματα: structured theory, worked examples, answered practice, and a mastery checklist for Greek Lyceum Grade 3.
ПЛАН ГЛАВЫ
Изучайте, тренируйтесь и проверяйте прогресс
Следуйте шагам по порядку или переходите к нужному разделу.
—/5
завершено
Примерное активное время
181 мин
1. Понять
Цели, основные идеи и структурированная теория.
Открыть →2. Освоить метод
Решённые примеры с объяснением шагов.
Открыть →3. Практика
Задания разного уровня с подсказками и ответами.
Открыть →4. Закрепить
Задания от базового уровня до сложных.
Открыть →5. Проверить
Тест с таймером, баллами и решениями.
Открыть →
Прогресс хранится только в этом браузере и не требует AI-кредитов.
Ключевые идеи и проверки
- An antiderivative F of f satisfies F′=f on the interval.
- Antiderivatives on an interval differ by a constant C.
- For f continuous on [a,b], ∫a^b f(x)dx=F(b)−F(a).
Раздел
Основная теория
Ключевые идеи главы в понятной последовательности перед практикой.
Indefinite integration
Integrate term by term: ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C for n≠−1 on a suitable interval. Check by differentiating. An additional condition is needed to determine C.
Definite integration
Find an antiderivative and evaluate upper bound minus lower bound. The result is a number. Reversing the bounds changes the sign; splitting the interval gives a sum of integrals.
Area and sign
An integral is signed. For geometric area, split where the sign changes and add non-negative areas. Between two curves, integrate the upper function minus the lower on each interval.
Mathematics
Разобранные примеры
Следуйте методу шаг за шагом и проверяйте обоснование каждого шага.
Evaluate a definite integral
Evaluate ∫₀² (2x+1)dx.
- 1An antiderivative is F(x)=x²+x because F′(x)=2x+1.
- 2F(2)−F(0)=(4+2)−0=6.
6
Area does not cancel
For f(x)=x on [−2,2], find the integral and the area to the x-axis.
- 1∫₋₂² x dx = [x²/2]₋₂² = 2−2=0.
- 2f is negative on [−2,0] and positive on [0,2]. Each triangular region has area 2.
- 3Add the non-negative areas: 2+2=4.
Integral 0; area 4 square units.
Ολοκληρώματα
Практика с ответами
Восемь заданий от базовых навыков до экзаменационного уровня. Сначала решите самостоятельно.
Базовый навык5 минут
Find all antiderivatives of f(x)=6x+2.
Подсказка
Integrate each term and add an arbitrary constant.
Ответ
F(x)=3x²+2x+C, C∈ℝ.
Базовый навык6 минут
Evaluate ∫₀^2 6x dx.
Подсказка
Use antiderivative 3x² and subtract its lower-bound value from its upper-bound value.
Ответ
3·2² − 0 = 12
Применение7 минут
Evaluate ∫_3^5 3 dx.
Подсказка
For a constant function, multiply the constant by the interval length.
Ответ
3·(5−3)=6
Применение8 минут
Find F when F'(x)=6x+2 and F(0)=5.
Подсказка
Find all antiderivatives, then use the initial condition to determine the constant.
Ответ
F(x)=3x²+2x+5.
Обоснование9 минут
For f(x)=−3 on [0, 2], find the definite integral and the area to the x-axis.
Подсказка
The integral is signed; geometric area is non-negative.
Ответ
Integral = −6. Area = 6 square units.
Обоснование10 минут
For f(x)=x on [−2, 2], find the integral and the total area to the x-axis.
Подсказка
Split at 0 where the sign changes.
Ответ
Integral = 0. Area = 4 square units.
Экзаменационный11 минут
Find the area between f(x)=3x and g(x)=2x for 0≤x≤2.
Подсказка
f is above g. Integrate f−g=x.
Ответ
∫₀^2 x dx = 4/2
Экзаменационный12 минут
If G(x)=∫₀^x (6t+2)dt, find G'(x).
Подсказка
The integrand is continuous: apply the fundamental theorem of calculus.
Ответ
G'(x)=6x+2.
Частые ошибки
- Omitting C from an indefinite integral.
- Subtracting upper-bound value from lower-bound value.
- Treating a signed integral as always equal to area.
Проверка понимания
- I can find and check an antiderivative.
- I can evaluate a definite integral using its bounds.
- I can distinguish an integral from geometric area.
Ολοκληρώματα
Домашняя работа по главе
Шесть разных заданий от базового уровня до сложного с временем, подсказками и ответами.
Базовый8 минут
Find all antiderivatives of f(x)=8x+3.
Подсказка
Integrate each term and add an arbitrary constant.
Ответ
F(x)=4x²+3x+C, C∈ℝ.
Базовый8 минут
Evaluate ∫₀^3 8x dx.
Подсказка
Use antiderivative 4x² and subtract its lower-bound value from its upper-bound value.
Ответ
4·3² − 0 = 36
Углубленный8 минут
Evaluate ∫_4^7 3 dx.
Подсказка
For a constant function, multiply the constant by the interval length.
Ответ
3·(7−4)=9
Углубленный8 минут
Find F when F'(x)=8x+3 and F(0)=5.
Подсказка
Find all antiderivatives, then use the initial condition to determine the constant.
Ответ
F(x)=4x²+3x+5.
Сложный8 минут
For f(x)=−4 on [0, 3], find the definite integral and the area to the x-axis.
Подсказка
The integral is signed; geometric area is non-negative.
Ответ
Integral = −12. Area = 12 square units.
Сложный8 минут
For f(x)=x on [−3, 3], find the integral and the total area to the x-axis.
Подсказка
Split at 0 where the sign changes.
Ответ
Integral = 0. Area = 9 square units.
50 минут / 40 баллов
Полный тест по главе
Полный тест с таймером, баллами и образцами ответов.
Show your working and justify each theorem's assumptions. Check the answers after finishing.
1. Find all antiderivatives of f(x)=10x+4.
4 балловОтвет
F(x)=5x²+4x+C, C∈ℝ.
2. Evaluate ∫₀^4 10x dx.
4 балловОтвет
5·4² − 0 = 80
3. Evaluate ∫_5^9 3 dx.
4 балловОтвет
3·(9−5)=12
4. Find F when F'(x)=10x+4 and F(0)=5.
4 балловОтвет
F(x)=5x²+4x+5.
5. For f(x)=−5 on [0, 4], find the definite integral and the area to the x-axis.
4 балловОтвет
Integral = −20. Area = 20 square units.
6. For f(x)=x on [−4, 4], find the integral and the total area to the x-axis.
4 балловОтвет
Integral = 0. Area = 16 square units.
7. Find the area between f(x)=5x and g(x)=4x for 0≤x≤4.
4 балловОтвет
∫₀^4 x dx = 16/2
8. If G(x)=∫₀^x (10t+4)dt, find G'(x).
4 балловОтвет
G'(x)=10x+4.
9. If ∫₀^4 f(x)dx=5, what is ∫_4^0 f(x)dx?
4 балловОтвет
−5
10. Find the area under f(x)=x(4−x) on [0, 4].
4 балловОтвет
Area = [4x²/2−x³/3]₀^4 = 64/6 square units.
Раздел
Официальные источники
Источники программы; порядок тем уточняйте в школе и у преподавателя.
Mathematics
Greek Lyceum Grade 3: структурированный маршрут по математике и физике с главами, практикой и следующими шагами.
Что покрывает глава
Структура следует учебнику и помогает организовать изучение темы.
Αρχική συνάρτηση
Ορισμένο ολοκλήρωμα
Ιδιότητες ολοκληρώματος
Θεμελιώδες Θεώρημα Ολοκληρωτικού Λογισμού
Εμβαδόν χωρίου
Σύνθετα θέματα
Где сфокусироваться
Темы, где чаще возникают ошибки или нужна дополнительная практика.
I can find and check an antiderivative.
I can evaluate a definite integral using its bounds.
I can distinguish an integral from geometric area.
Источники, ежедневные материалы и ресурсы
С чего начать: учебник, daily material, PDFs, videos и worked examples.
Start from the official textbook or specification referenced on the subject page.
Use the notes and examples as support, not as a replacement for the official syllabus.
Check the current syllabus version before exam preparation.
Практика по подтемам
Целевая практика перед full tests, чтобы coverage было понятным.
Find all antiderivatives of f(x)=6x+2.
Evaluate ∫₀^2 6x dx.
Evaluate ∫_3^5 3 dx.
Find F when F'(x)=6x+2 and F(0)=5.
For f(x)=−3 on [0, 2], find the definite integral and the area to the x-axis.
For f(x)=x on [−2, 2], find the integral and the total area to the x-axis.
Find the area between f(x)=3x and g(x)=2x for 0≤x≤2.
If G(x)=∫₀^x (6t+2)dt, find G'(x).
Mocks и проверка прогресса
Как измерять прогресс по главе и когда включать ее в общий mock.
Start with untimed practice by subtopic.
Move to a short timed checkpoint only after completing the mastery checklist.
Record each error with the correct method and revisit it after 48 hours.
Следующий шаг
Что делать после главы и как она связана со следующим разделом.
Complete the practice without support.
Explain the core method aloud in under two minutes.
Continue to the next chapter or request targeted tutor support.
Примечание: официальную экзаменационную программу каждого года всегда уточняйте в школе, у преподавателя и по текущим официальным источникам.