Στόχοι μάθησης
- Εξηγώ και εφαρμόζω: Απλή αρμονική ταλάντωση.
- Εξηγώ και εφαρμόζω: Περίοδος και φάση.
- Εξηγώ και εφαρμόζω: Ενέργεια και ακραίες θέσεις.
Πανελλήνιες / Φυσική / Πιλοτική εμβάθυνση δύο ενοτήτων
Ταλαντώσεις
Ταλαντώσεις: οργανωμένη θεωρία, λυμένα παραδείγματα, ασκήσεις με απαντήσεις και έλεγχος κατανόησης για Πανελλήνιες.
ΠΛΑΝΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
Μάθε, εξασκήσου και έλεγξε την πρόοδό σου
Ακολούθησε τα βήματα με τη σειρά ή πήγαινε κατευθείαν στο σημείο που χρειάζεσαι.
—/5
ολοκληρωμένα
Εκτιμώμενος ενεργός χρόνος
156 λεπτά
1. Κατανόηση
Στόχοι, βασικές έννοιες και οργανωμένη θεωρία.
Άνοιγμα →2. Μέθοδος
Λυμένα παραδείγματα με αιτιολόγηση κάθε βήματος.
Άνοιγμα →3. Εξάσκηση
Διαβαθμισμένες ασκήσεις με υπόδειξη και απάντηση.
Άνοιγμα →4. Εμπέδωση
Εργασίες από βασικό επίπεδο έως πρόκληση.
Άνοιγμα →5. Έλεγχος
Χρονομετρημένο test με βαθμούς και οδηγό λύσεων.
Άνοιγμα →
Η πρόοδος αποθηκεύεται μόνο σε αυτόν τον browser και δεν απαιτεί AI credits.
Βασικές ιδέες και έλεγχοι
- T=2π√(m/k) για ιδανικό σύστημα μάζας–ελατηρίου.
- υmax=Aω και amax=Aω².
- Διπλάσιο πλάτος δίνει τετραπλάσια ενέργεια.
Ενότητα
Θεωρία που χρειάζεσαι
Οι βασικές ιδέες του κεφαλαίου σε καθαρή σειρά πριν από την εξάσκηση.
Κατανόηση της έννοιας
Στην ιδανική απλή αρμονική ταλάντωση η δύναμη επαναφοράς είναι ανάλογη και αντίθετη της απομάκρυνσης: F=−Dx. Για οριζόντιο ιδανικό ελατήριο χωρίς τριβή D=k και ω=√(k/m). Η απομάκρυνση μετριέται από τη θέση ισορροπίας.
Μέθοδος και προϋποθέσεις
Για x=A·sin(ωt+φ), η ταχύτητα είναι Aω·cos(ωt+φ) και η επιτάχυνση −ω²x. Η περίοδος T=2π/ω δεν αλλάζει με το πλάτος στο ιδανικό γραμμικό μοντέλο. Εδώ οι αριθμητικές ασκήσεις φάσης χρησιμοποιούν φ=0.
Έλεγχος και όρια κάλυψης
Η ολική μηχανική ενέργεια είναι ½DA². Στα άκρα η ταχύτητα μηδενίζεται αλλά το μέτρο δύναμης και επιτάχυνσης μεγιστοποιείται. Στην ισορροπία η ταχύτητα μεγιστοποιείται. Το πιλοτικό σύνολο δεν περιλαμβάνει φθίνουσες ή εξαναγκασμένες ταλαντώσεις.
Πρωτότυπο πιλοτικό υλικό — αναμένεται έλεγχος εκπαιδευτικού
Συντάχθηκε ειδικά για το YourFavTeacher με υποστήριξη AI, χωρίς αντιγραφή εκφωνήσεων παλιών θεμάτων. Οι τεχνικοί και αριθμητικοί έλεγχοι δεν αντικαθιστούν έλεγχο εκπαιδευτικού. Δεν είναι επίσημο θέμα ούτε πιστοποιημένο από φορέα.
Φυσική
Λυμένα παραδείγματα
Δες τη μέθοδο βήμα προς βήμα και έλεγξε γιατί κάθε βήμα είναι έγκυρο.
Αναλυτικό παράδειγμα 1
Ιδανικό οριζόντιο σύστημα ελατηρίου έχει m=1 kg και k=36 N/m. Βρες ω και T.
- 1Για ιδανικό ελατήριο ω=√(k/m) και T=2π/ω.
- 2ω=√36=6 rad/s; T=2π/6 s
- 3Η περίοδος δεν εξαρτάται από το πλάτος στο ιδανικό μοντέλο.
ω=6 rad/s; T=2π/6 s
Αναλυτικό παράδειγμα 2
Σε ΑΑΤ με ω=6 rad/s και x=0,1 m, βρες επιτάχυνση.
- 1Η επιτάχυνση έχει αντίθετο πρόσημο από την απομάκρυνση.
- 2a=−ω²x=−6²·0.1=−3.6 m/s²
- 3Το αρνητικό πρόσημο δείχνει προς τη θέση ισορροπίας.
−3.6 m/s²
Αναλυτικό παράδειγμα 3
Στο άκρο ταλάντωσης η ταχύτητα είναι στιγμιαία μηδέν. Είναι μηδενική και η δύναμη επαναφοράς;
- 1F=−kx
- 2Στο άκρο |x|=A, άρα |F|=kA.
- 3Η δύναμη προς την ισορροπία αλλάζει τη φορά της κίνησης.
Όχι· η δύναμη έχει μέγιστο μέτρο.
Ταλαντώσεις
Εξάσκηση με απαντήσεις
Οκτώ διαβαθμισμένες ασκήσεις από βασική ευχέρεια έως exam-style εφαρμογή. Προσπάθησε μόνος σου πριν ανοίξεις υπόδειξη ή απάντηση.
Βασική ευχέρεια6 λεπτά
Ιδανικό οριζόντιο σύστημα ελατηρίου έχει m=1 kg και k=9 N/m. Βρες ω και T.
Υπόδειξη
Για ιδανικό ελατήριο ω=√(k/m) και T=2π/ω.
Οδηγός απάντησης
Για ιδανικό ελατήριο ω=√(k/m) και T=2π/ω. ω=√9=3 rad/s; T=2π/3 s Η περίοδος δεν εξαρτάται από το πλάτος στο ιδανικό μοντέλο. ω=3 rad/s; T=2π/3 s
Βασική ευχέρεια6 λεπτά
Απλή αρμονική ταλάντωση έχει A=0,2 m και ω=3 rad/s. Βρες μέγιστη ταχύτητα.
Υπόδειξη
Η μέγιστη ταχύτητα εμφανίζεται στη θέση ισορροπίας: υmax=ωA.
Οδηγός απάντησης
Η μέγιστη ταχύτητα εμφανίζεται στη θέση ισορροπίας: υmax=ωA. υmax=3·0.2=0.6 m/s Στα άκρα η ταχύτητα είναι μηδέν, όχι μέγιστη. 0.6 m/s
Βασική ευχέρεια6 λεπτά
Ελατήριο k=100 N/m ταλαντώνεται με πλάτος A=0,02 m. Βρες ολική ενέργεια.
Υπόδειξη
Στο ιδανικό σύστημα E=kA²/2.
Οδηγός απάντησης
Στο ιδανικό σύστημα E=kA²/2. E=0.5·100·(0.02)²=0.02 J Το πλάτος μπαίνει σε μέτρα και υψώνεται στο τετράγωνο. 0.02 J
Εφαρμογή6 λεπτά
Σε ποια θέση της απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι μέγιστο το μέτρο επιτάχυνσης;
Υπόδειξη
a=−ω²x
Οδηγός απάντησης
a=−ω²x Το μέτρο αυξάνεται με το |x|. Το μεγαλύτερο |x| είναι το πλάτος A. Στα δύο άκρα x=±A, με φορά προς την ισορροπία.
Εφαρμογή6 λεπτά
Σε ΑΑΤ με ω=3 rad/s και x=0,1 m, βρες επιτάχυνση.
Υπόδειξη
Η επιτάχυνση έχει αντίθετο πρόσημο από την απομάκρυνση.
Οδηγός απάντησης
Η επιτάχυνση έχει αντίθετο πρόσημο από την απομάκρυνση. a=−ω²x=−3²·0.1=−0.9 m/s² Το αρνητικό πρόσημο δείχνει προς τη θέση ισορροπίας. −0.9 m/s²
Εφαρμογή6 λεπτά
Διπλασιάζουμε το πλάτος ενός ιδανικού ελατηρίου χωρίς να αλλάξουμε μάζα ή σταθερά. Πώς αλλάζουν περίοδος και ενέργεια;
Υπόδειξη
T=2π√(m/k)
Οδηγός απάντησης
T=2π√(m/k) E′=k(2A)²/2=4E Το μοντέλο είναι ιδανικό, χωρίς απώλειες και με ισχύ του νόμου Hooke. Ίδια περίοδος, τετραπλάσια ενέργεια.
Αιτιολόγηση6 λεπτά
Σε ΑΑΤ x=0,2sin(3t) σε SI. Βρες θέση και φορά κίνησης στο t=0.
Υπόδειξη
Η ταχύτητα είναι η παράγωγος της θέσης.
Οδηγός απάντησης
Η ταχύτητα είναι η παράγωγος της θέσης. x(0)=0; υ(t)=0.6cos(3t); υ(0)=0.6>0 Το ότι x=0 δεν σημαίνει ότι το σώμα είναι ακίνητο. x(0)=0 m; υ(0)=0.6 m/s > 0
Αιτιολόγηση6 λεπτά
Στο άκρο ταλάντωσης η ταχύτητα είναι στιγμιαία μηδέν. Είναι μηδενική και η δύναμη επαναφοράς;
Υπόδειξη
F=−kx
Οδηγός απάντησης
F=−kx Στο άκρο |x|=A, άρα |F|=kA. Η δύναμη προς την ισορροπία αλλάζει τη φορά της κίνησης. Όχι· η δύναμη έχει μέγιστο μέτρο.
Συχνά λάθη
- Συγχέω στιγμιαία ταχύτητα με μέγιστη ταχύτητα.
- Θεωρώ μηδενική τη δύναμη στα άκρα επειδή υ=0.
- Χρησιμοποιώ cm σε τύπο με μονάδες SI.
Έλεγχος κατανόησης
- Λύνω χωρίς βοήθεια και ελέγχω: Απλή αρμονική ταλάντωση.
- Λύνω χωρίς βοήθεια και ελέγχω: Περίοδος και φάση.
- Λύνω χωρίς βοήθεια και ελέγχω: Ενέργεια και ακραίες θέσεις.
Ταλαντώσεις
Homework κεφαλαίου
Έξι διαφορετικές εργασίες από βασική εμπέδωση έως challenge, με εκτιμώμενο χρόνο, υποδείξεις και οδηγούς απάντησης.
Βασικό8 λεπτά
Ιδανικό οριζόντιο σύστημα ελατηρίου έχει m=1 kg και k=16 N/m. Βρες ω και T.
Υπόδειξη
Για ιδανικό ελατήριο ω=√(k/m) και T=2π/ω.
Οδηγός απάντησης
Για ιδανικό ελατήριο ω=√(k/m) και T=2π/ω. ω=√16=4 rad/s; T=2π/4 s Η περίοδος δεν εξαρτάται από το πλάτος στο ιδανικό μοντέλο. ω=4 rad/s; T=2π/4 s
Βασικό8 λεπτά
Απλή αρμονική ταλάντωση έχει A=0,2 m και ω=4 rad/s. Βρες μέγιστη ταχύτητα.
Υπόδειξη
Η μέγιστη ταχύτητα εμφανίζεται στη θέση ισορροπίας: υmax=ωA.
Οδηγός απάντησης
Η μέγιστη ταχύτητα εμφανίζεται στη θέση ισορροπίας: υmax=ωA. υmax=4·0.2=0.8 m/s Στα άκρα η ταχύτητα είναι μηδέν, όχι μέγιστη. 0.8 m/s
Εμβάθυνση8 λεπτά
Ελατήριο k=100 N/m ταλαντώνεται με πλάτος A=0,03 m. Βρες ολική ενέργεια.
Υπόδειξη
Στο ιδανικό σύστημα E=kA²/2.
Οδηγός απάντησης
Στο ιδανικό σύστημα E=kA²/2. E=0.5·100·(0.03)²=0.045 J Το πλάτος μπαίνει σε μέτρα και υψώνεται στο τετράγωνο. 0.045 J
Εμβάθυνση8 λεπτά
Σε ποια θέση της απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι μέγιστο το μέτρο επιτάχυνσης;
Υπόδειξη
a=−ω²x
Οδηγός απάντησης
a=−ω²x Το μέτρο αυξάνεται με το |x|. Το μεγαλύτερο |x| είναι το πλάτος A. Στα δύο άκρα x=±A, με φορά προς την ισορροπία.
Πρόκληση8 λεπτά
Σε ΑΑΤ με ω=4 rad/s και x=0,1 m, βρες επιτάχυνση.
Υπόδειξη
Η επιτάχυνση έχει αντίθετο πρόσημο από την απομάκρυνση.
Οδηγός απάντησης
Η επιτάχυνση έχει αντίθετο πρόσημο από την απομάκρυνση. a=−ω²x=−4²·0.1=−1.6 m/s² Το αρνητικό πρόσημο δείχνει προς τη θέση ισορροπίας. −1.6 m/s²
Πρόκληση8 λεπτά
Διπλασιάζουμε το πλάτος ενός ιδανικού ελατηρίου χωρίς να αλλάξουμε μάζα ή σταθερά. Πώς αλλάζουν περίοδος και ενέργεια;
Υπόδειξη
T=2π√(m/k)
Οδηγός απάντησης
T=2π√(m/k) E′=k(2A)²/2=4E Το μοντέλο είναι ιδανικό, χωρίς απώλειες και με ισχύ του νόμου Hooke. Ίδια περίοδος, τετραπλάσια ενέργεια.
45 λεπτά / 40 βαθμοί
Πλήρες test κεφαλαίου
Χρονομετρημένο διαγώνισμα αυτοαξιολόγησης με πλήρη βαθμολογία και ενδεικτικές απαντήσεις.
Γράψε τα βήματα, τις μονάδες και τον τελικό έλεγχο. Δεκτές ισοδύναμες σωστές λύσεις. Ο χρόνος είναι ενδεικτικός για επανάληψη, όχι επίσημη εξέταση.
1. Ιδανικό οριζόντιο σύστημα ελατηρίου έχει m=1 kg και k=25 N/m. Βρες ω και T.
5 βαθμοίΟδηγός απάντησης
Για ιδανικό ελατήριο ω=√(k/m) και T=2π/ω. ω=√25=5 rad/s; T=2π/5 s Η περίοδος δεν εξαρτάται από το πλάτος στο ιδανικό μοντέλο. ω=5 rad/s; T=2π/5 s
2. Απλή αρμονική ταλάντωση έχει A=0,2 m και ω=5 rad/s. Βρες μέγιστη ταχύτητα.
5 βαθμοίΟδηγός απάντησης
Η μέγιστη ταχύτητα εμφανίζεται στη θέση ισορροπίας: υmax=ωA. υmax=5·0.2=1 m/s Στα άκρα η ταχύτητα είναι μηδέν, όχι μέγιστη. 1 m/s
3. Ελατήριο k=100 N/m ταλαντώνεται με πλάτος A=0,04 m. Βρες ολική ενέργεια.
5 βαθμοίΟδηγός απάντησης
Στο ιδανικό σύστημα E=kA²/2. E=0.5·100·(0.04)²=0.08 J Το πλάτος μπαίνει σε μέτρα και υψώνεται στο τετράγωνο. 0.08 J
4. Σε ποια θέση της απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι μέγιστο το μέτρο επιτάχυνσης;
5 βαθμοίΟδηγός απάντησης
a=−ω²x Το μέτρο αυξάνεται με το |x|. Το μεγαλύτερο |x| είναι το πλάτος A. Στα δύο άκρα x=±A, με φορά προς την ισορροπία.
5. Σε ΑΑΤ με ω=5 rad/s και x=0,1 m, βρες επιτάχυνση.
5 βαθμοίΟδηγός απάντησης
Η επιτάχυνση έχει αντίθετο πρόσημο από την απομάκρυνση. a=−ω²x=−5²·0.1=−2.5 m/s² Το αρνητικό πρόσημο δείχνει προς τη θέση ισορροπίας. −2.5 m/s²
6. Διπλασιάζουμε το πλάτος ενός ιδανικού ελατηρίου χωρίς να αλλάξουμε μάζα ή σταθερά. Πώς αλλάζουν περίοδος και ενέργεια;
5 βαθμοίΟδηγός απάντησης
T=2π√(m/k) E′=k(2A)²/2=4E Το μοντέλο είναι ιδανικό, χωρίς απώλειες και με ισχύ του νόμου Hooke. Ίδια περίοδος, τετραπλάσια ενέργεια.
7. Σε ΑΑΤ x=0,2sin(5t) σε SI. Βρες θέση και φορά κίνησης στο t=0.
5 βαθμοίΟδηγός απάντησης
Η ταχύτητα είναι η παράγωγος της θέσης. x(0)=0; υ(t)=1cos(5t); υ(0)=1>0 Το ότι x=0 δεν σημαίνει ότι το σώμα είναι ακίνητο. x(0)=0 m; υ(0)=1 m/s > 0
8. Στο άκρο ταλάντωσης η ταχύτητα είναι στιγμιαία μηδέν. Είναι μηδενική και η δύναμη επαναφοράς;
5 βαθμοίΟδηγός απάντησης
F=−kx Στο άκρο |x|=A, άρα |F|=kA. Η δύναμη προς την ισορροπία αλλάζει τη φορά της κίνησης. Όχι· η δύναμη έχει μέγιστο μέτρο.
Ενότητα
Επίσημες πηγές και επαλήθευση
Πηγές αναφοράς για το curriculum. Η σειρά διδασκαλίας επιβεβαιώνεται πάντα με το σχολείο και τον καθηγητή.
Φυσική
Αυστηρή μεθοδολογία ανά θέμα: σχήμα, αρχές/νόμοι, εξισώσεις, αριθμητική ακρίβεια και ποιοτική εξήγηση.
Τι καλύπτει το κεφάλαιο
Η δομή βασίζεται στη διάρθρωση του σχολικού βιβλίου και χρησιμοποιείται για να οργανωθεί η μελέτη.
Απλή αρμονική ταλάντωση
Περίοδος και φάση
Ενέργεια και ακραίες θέσεις
Πού να δώσεις προσοχή
Τα σημεία που συνήθως δημιουργούν λάθη ή χρειάζονται περισσότερη επανάληψη.
Λύνω χωρίς βοήθεια και ελέγχω: Απλή αρμονική ταλάντωση.
Λύνω χωρίς βοήθεια και ελέγχω: Περίοδος και φάση.
Λύνω χωρίς βοήθεια και ελέγχω: Ενέργεια και ακραίες θέσεις.
Πηγές και καθημερινό υλικό
Πού ξεκινάς: σχολικό βιβλίο, καθημερινό υλικό, PDFs, videos και worked examples.
Ξεκίνα από το επίσημο βιβλίο ή specification που αναφέρεται στη σελίδα του μαθήματος.
Χρησιμοποίησε τις σημειώσεις και τα παραδείγματα ως βοήθημα, όχι ως αντικατάσταση της επίσημης ύλης.
Έλεγξε την τρέχουσα έκδοση του syllabus πριν από εξεταστική προετοιμασία.
Practice ανά υποενότητα
Στοχευμένη εξάσκηση πριν πας σε full tests, ώστε να φαίνεται καθαρά τι έχει καλυφθεί.
Ιδανικό οριζόντιο σύστημα ελατηρίου έχει m=1 kg και k=9 N/m. Βρες ω και T.
Απλή αρμονική ταλάντωση έχει A=0,2 m και ω=3 rad/s. Βρες μέγιστη ταχύτητα.
Ελατήριο k=100 N/m ταλαντώνεται με πλάτος A=0,02 m. Βρες ολική ενέργεια.
Σε ποια θέση της απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι μέγιστο το μέτρο επιτάχυνσης;
Σε ΑΑΤ με ω=3 rad/s και x=0,1 m, βρες επιτάχυνση.
Διπλασιάζουμε το πλάτος ενός ιδανικού ελατηρίου χωρίς να αλλάξουμε μάζα ή σταθερά. Πώς αλλάζουν περίοδος και ενέργεια;
Σε ΑΑΤ x=0,2sin(3t) σε SI. Βρες θέση και φορά κίνησης στο t=0.
Στο άκρο ταλάντωσης η ταχύτητα είναι στιγμιαία μηδέν. Είναι μηδενική και η δύναμη επαναφοράς;
Mocks και έλεγχος προόδου
Πώς μετράμε πρόοδο σε αυτό το κεφάλαιο και πότε μπαίνει σε συνολικό διαγώνισμα.
Κάνε πρώτα untimed practice ανά subtopic.
Πέρασε σε μικρό timed checkpoint μόνο όταν ολοκληρώσεις το mastery checklist.
Κατέγραψε κάθε λάθος μαζί με τη σωστή μέθοδο και επανέλεγξέ το μετά από 48 ώρες.
Επόμενο βήμα
Τι κάνεις όταν ολοκληρωθεί το κεφάλαιο και πώς συνδέεται με την επόμενη ενότητα.
Ολοκλήρωσε το practice χωρίς βοήθεια.
Εξήγησε προφορικά τη βασική μέθοδο σε λιγότερο από δύο λεπτά.
Συνέχισε στο επόμενο κεφάλαιο ή ζήτησε στοχευμένη βοήθεια από καθηγητή.
Σημείωση: για επίσημη εξεταστέα ύλη κάθε σχολικής χρονιάς επιβεβαίωσε πάντα με το σχολείο, τον καθηγητή και τις τρέχουσες ανακοινώσεις/πηγές ΥΠΑΙΘ και ΙΕΠ.