Γ' Γυμνασίου / Μαθηματικά / Μέρος Β: Γεωμετρία - Τριγωνομετρία
Γεωμετρία: οργανωμένη θεωρία, λυμένα παραδείγματα, ασκήσεις με απαντήσεις και έλεγχος κατανόησης για Γ' Γυμνασίου.
ΠΛΑΝΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
Ακολούθησε τα βήματα με τη σειρά ή πήγαινε κατευθείαν στο σημείο που χρειάζεσαι.
—/5
ολοκληρωμένα
Εκτιμώμενος ενεργός χρόνος
209 λεπτά
Στόχοι, βασικές έννοιες και οργανωμένη θεωρία.
Άνοιγμα →Λυμένα παραδείγματα με αιτιολόγηση κάθε βήματος.
Άνοιγμα →Διαβαθμισμένες ασκήσεις με υπόδειξη και απάντηση.
Άνοιγμα →Εργασίες από βασικό επίπεδο έως πρόκληση.
Άνοιγμα →Χρονομετρημένο test με βαθμούς και οδηγό λύσεων.
Άνοιγμα →Η πρόοδος αποθηκεύεται μόνο σε αυτόν τον browser και δεν απαιτεί AI credits.
Ενότητα
Οι βασικές ιδέες του κεφαλαίου σε καθαρή σειρά πριν από την εξάσκηση.
Σημείωσε στο σχήμα όλα τα δεδομένα και γράψε καθαρά τι ζητείται. Η λύση ξεκινά από σχέση που συνδέει ακριβώς αυτά τα μεγέθη.
Κάθε γεωμετρικό βήμα χρειάζεται ιδιότητα, θεώρημα ή ορισμό. Το αποτέλεσμα χωρίς αιτιολόγηση δεν αποτελεί πλήρη απόδειξη.
Μήκος, εμβαδόν, όγκος και γωνία έχουν διαφορετικές μονάδες. Στρογγυλοποίησε μόνο στο τέλος και κράτησε ενδιάμεση ακρίβεια.
Σχεδίασε και σημείωσε όλα τα δεδομένα πριν επιλέξεις ιδιότητα ή τύπο. Ολοκλήρωσε με εκτίμηση, αντίστροφη πράξη ή αντικατάσταση για έλεγχο.
Σχεδίασε και σημείωσε όλα τα δεδομένα πριν επιλέξεις ιδιότητα ή τύπο. Ολοκλήρωσε με εκτίμηση, αντίστροφη πράξη ή αντικατάσταση για έλεγχο.
Σχεδίασε και σημείωσε όλα τα δεδομένα πριν επιλέξεις ιδιότητα ή τύπο. Ολοκλήρωσε με εκτίμηση, αντίστροφη πράξη ή αντικατάσταση για έλεγχο.
Σχεδίασε και σημείωσε όλα τα δεδομένα πριν επιλέξεις ιδιότητα ή τύπο. Ολοκλήρωσε με εκτίμηση, αντίστροφη πράξη ή αντικατάσταση για έλεγχο.
Σχεδίασε και σημείωσε όλα τα δεδομένα πριν επιλέξεις ιδιότητα ή τύπο. Ολοκλήρωσε με εκτίμηση, αντίστροφη πράξη ή αντικατάσταση για έλεγχο.
Μαθηματικά
Δες τη μέθοδο βήμα προς βήμα και έλεγξε γιατί κάθε βήμα είναι έγκυρο.
Ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 9 cm και 12 cm. Βρες υποτείνουσα και εμβαδόν.
Υποτείνουσα 15 cm, εμβαδόν 54 cm².
Πριν από υπολογισμό, εξήγησε ποια βασική ιδέα από το «Ισότητα σχημάτων» χρειάζεται και ποιες προϋποθέσεις πρέπει να ελεγχθούν.
Η απάντηση πρέπει να δείχνει όχι μόνο ποιον κανόνα χρησιμοποιούμε για το «Ισότητα σχημάτων», αλλά και γιατί επιτρέπεται να χρησιμοποιηθεί εδώ.
Γεωμετρία
Οκτώ διαβαθμισμένες ασκήσεις από βασική ευχέρεια έως exam-style εφαρμογή. Προσπάθησε μόνος σου πριν ανοίξεις υπόδειξη ή απάντηση.
Ορθογώνιο 5 cm × 4 cm: βρες περίμετρο και εμβαδόν.
P = 2(l+w), A = lw.
P = 18 cm, A = 20 cm².
Τρίγωνο έχει βάση 48 cm και ύψος 6 cm. Βρες το εμβαδόν.
A = 1/2 bh.
A = 1/2 · 48 · 6 = 144 cm².
Δύο γωνίες τριγώνου είναι 40° και 30°. Βρες την τρίτη.
Οι γωνίες τριγώνου έχουν άθροισμα 180°.
110°.
Ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 15 cm και 20 cm. Βρες την υποτείνουσα.
Χρησιμοποίησε a²+b²=c².
25 cm.
Κύκλος έχει ακτίνα 2 cm. Βρες περιφέρεια και εμβαδόν σε όρους του π.
C = 2πr, A = πr².
C = 4π cm, A = 4π cm².
Κλίμακα 1:600. Μήκος 4 cm στο σχέδιο αντιστοιχεί σε πόσα μέτρα;
Πολλαπλασίασε σε cm και μετά μετέτρεψε σε m.
4 · 600 = 2400 cm = 24 m.
Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο 9 cm × 6 cm × 15 cm: βρες όγκο.
V = lwh.
V = 810 cm³.
Τα σημεία είναι A(0,0) και B(5,3). Βρες την απόσταση AB.
AB = √(Δx²+Δy²).
AB = √34.
Γεωμετρία
Έξι διαφορετικές εργασίες από βασική εμπέδωση έως challenge, με εκτιμώμενο χρόνο, υποδείξεις και οδηγούς απάντησης.
Homework 1: Ορθογώνιο 8 cm × 5 cm: βρες περίμετρο και εμβαδόν.
P = 2(l+w), A = lw.
P = 26 cm, A = 40 cm².
Homework 2: Τρίγωνο έχει βάση 8 cm και ύψος 2 cm. Βρες το εμβαδόν.
A = 1/2 bh.
A = 1/2 · 8 · 2 = 8 cm².
Homework 3: Δύο γωνίες τριγώνου είναι 70° και 40°. Βρες την τρίτη.
Οι γωνίες τριγώνου έχουν άθροισμα 180°.
70°.
Homework 4: Ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 18 cm και 24 cm. Βρες την υποτείνουσα.
Χρησιμοποίησε a²+b²=c².
30 cm.
Homework 5: Κύκλος έχει ακτίνα 3 cm. Βρες περιφέρεια και εμβαδόν σε όρους του π.
C = 2πr, A = πr².
C = 6π cm, A = 9π cm².
Homework 6: Κλίμακα 1:900. Μήκος 5 cm στο σχέδιο αντιστοιχεί σε πόσα μέτρα;
Πολλαπλασίασε σε cm και μετά μετέτρεψε σε m.
5 · 900 = 4500 cm = 45 m.
50 λεπτά / 40 βαθμοί
Χρονομετρημένο διαγώνισμα αυτοαξιολόγησης με πλήρη βαθμολογία και ενδεικτικές απαντήσεις.
Ξεκίνα το χρονόμετρο όταν είσαι έτοιμος, δούλεψε χωρίς σημειώσεις, δείξε όλα τα βήματα και άνοιξε τις ενδεικτικές απαντήσεις μόνο μετά το τέλος.
1. Ορθογώνιο 6 cm × 5 cm: βρες περίμετρο και εμβαδόν.
2 βαθμοίP = 22 cm, A = 30 cm².
2. Τρίγωνο έχει βάση 18 cm και ύψος 2 cm. Βρες το εμβαδόν.
3 βαθμοίA = 1/2 · 18 · 2 = 18 cm².
3. Δύο γωνίες τριγώνου είναι 50° και 40°. Βρες την τρίτη.
3 βαθμοί90°.
4. Ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 18 cm και 24 cm. Βρες την υποτείνουσα.
4 βαθμοί30 cm.
5. Κύκλος έχει ακτίνα 3 cm. Βρες περιφέρεια και εμβαδόν σε όρους του π.
4 βαθμοίC = 6π cm, A = 9π cm².
6. Κλίμακα 1:700. Μήκος 5 cm στο σχέδιο αντιστοιχεί σε πόσα μέτρα;
4 βαθμοί5 · 700 = 3500 cm = 35 m.
7. Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο 3 cm × 2 cm × 5 cm: βρες όγκο.
5 βαθμοίV = 30 cm³.
8. Τα σημεία είναι A(0,0) και B(6,4). Βρες την απόσταση AB.
5 βαθμοίAB = √52.
9. Δύο όμοια σχήματα έχουν λόγο μηκών 1:6. Αν μικρό εμβαδόν είναι 9 cm², βρες το μεγάλο.
5 βαθμοί9 · 6² = 324 cm².
10. Εξήγησε ποια δεδομένα και ποιο θεώρημα χρειάζεται ένα πλήρες επιχείρημα για το «Όμοια τρίγωνα».
5 βαθμοίΠλήρης απάντηση: σαφές σχήμα, δοσμένα, κατάλληλο θεώρημα με τις προϋποθέσεις του και συμπέρασμα που ακολουθεί λογικά.
Ενότητα
Πηγές αναφοράς για το curriculum. Η σειρά διδασκαλίας επιβεβαιώνεται πάντα με το σχολείο και τον καθηγητή.
Μαθηματικά
Έτος-γέφυρα για το Λύκειο: χρειάζεται άνεση σε αλγεβρικό χειρισμό και βασική αποδεικτική σκέψη.
Η δομή βασίζεται στη διάρθρωση του σχολικού βιβλίου και χρησιμοποιείται για να οργανωθεί η μελέτη.
Τα σημεία που συνήθως δημιουργούν λάθη ή χρειάζονται περισσότερη επανάληψη.
Πού ξεκινάς: σχολικό βιβλίο, καθημερινό υλικό, PDFs, videos και worked examples.
Στοχευμένη εξάσκηση πριν πας σε full tests, ώστε να φαίνεται καθαρά τι έχει καλυφθεί.
Πώς μετράμε πρόοδο σε αυτό το κεφάλαιο και πότε μπαίνει σε συνολικό διαγώνισμα.
Τι κάνεις όταν ολοκληρωθεί το κεφάλαιο και πώς συνδέεται με την επόμενη ενότητα.
Σημείωση: για επίσημη εξεταστέα ύλη κάθε σχολικής χρονιάς επιβεβαίωσε πάντα με το σχολείο, τον καθηγητή και τις τρέχουσες ανακοινώσεις/πηγές ΥΠΑΙΘ και ΙΕΠ.
