Lernziele
- I can evaluate limits using an appropriate transformation.
- I can check one-sided limits and continuity.
- I can apply the intermediate value theorem with its assumptions.
Greek Lyceum Grade 3 / Mathematics / Curriculum
Όρια και συνέχεια
Όρια και συνέχεια: structured theory, worked examples, answered practice, and a mastery checklist for Greek Lyceum Grade 3.
KAPITELPLAN
Lernen, üben und Fortschritt prüfen
Folge den Schritten oder springe direkt zum benötigten Abschnitt.
—/5
abgeschlossen
Geschätzte aktive Lernzeit
181 Minuten
1. Verstehen
Ziele, Kernideen und strukturierte Theorie.
Öffnen →2. Methode
Gelöste Beispiele mit erklärten Schritten.
Öffnen →3. Üben
Gestufte Aufgaben mit Hinweisen und Lösungen.
Öffnen →4. Festigen
Aufgaben vom Grundniveau bis zur Herausforderung.
Öffnen →5. Prüfen
Zeitlich begrenzter Test mit Punkten und Lösungen.
Öffnen →
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Kernideen und Kontrollen
- A limit describes what f(x) approaches, not necessarily f(x₀).
- A finite two-sided limit exists when both one-sided limits exist and agree.
- Continuity at x₀ requires f(x₀) to be defined and lim(x→x₀)f(x)=f(x₀).
Einheit
Grundlegende Theorie
Die wichtigsten Ideen des Kapitels in klarer Reihenfolge vor der Übung.
Limits and domain
Approach the point through the function's domain. A function may have a limit at a point where the function itself is undefined.
The indeterminate form 0/0
0/0 is not an answer. For rational expressions, factor and cancel for x≠x₀. For radicals, rationalisation may help. Then evaluate the equivalent expression's limit.
Continuity and the intermediate value theorem
For continuity, check both limit and value. A function continuous on [a,b] with opposite endpoint signs has at least one root in (a,b) by the intermediate value theorem, not necessarily a unique root.
Mathematics
Gelöste Beispiele
Verfolge die Methode Schritt für Schritt und prüfe jede Begründung.
A limit by factorisation
Evaluate lim(x→2) (x²−4)/(x−2).
- 1Direct substitution gives 0/0, so transform the expression.
- 2x²−4=(x−2)(x+2).
- 3For x≠2, cancel to get x+2. As x→2, x+2 tends to 4.
4
Continuity at a point
For x≠2, f(x)=(x²−4)/(x−2). How should f(2) be defined for continuity?
- 1The limit at 2 is 4, by factorisation.
- 2Continuity requires the value to equal the limit, so define f(2)=4.
f(2)=4
Όρια και συνέχεια
Übungen mit Antworten
Acht abgestufte Aufgaben von Grundfertigkeiten bis zur Prüfung. Erst selbst lösen, dann Hinweis oder Antwort öffnen.
Grundfertigkeit5 Minuten
Find lim(x→2) (3x + 1).
Hinweis
A polynomial is continuous: substitute for x.
Antwortleitfaden
3·2 + 1 = 7
Grundfertigkeit6 Minuten
Find lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2).
Hinweis
Factor the difference of squares and cancel only away from the limit point.
Antwortleitfaden
For x ≠ 2, the quotient equals x + 2. The limit is 4.
Anwendung7 Minuten
Let f(x)=(x² − 4)/(x − 2) for x≠2, and f(2)=k. Which k makes f continuous?
Hinweis
The function value must equal the limit.
Antwortleitfaden
k = 4
Anwendung8 Minuten
For x<0, f(x)=3; for x≥0, f(x)=4. Does lim(x→0) f(x) exist?
Hinweis
Calculate the two one-sided limits.
Antwortleitfaden
No: left-hand 3, right-hand 4.
Begründung9 Minuten
Find the one-sided limits of |x|/x at 0.
Hinweis
For x<0, |x|=−x; for x>0, |x|=x.
Antwortleitfaden
Left-hand −1, right-hand 1. The two-sided limit does not exist.
Begründung10 Minuten
Find lim(x→4) (√x − 2)/(x − 4).
Hinweis
Rationalise to obtain 1/(√x+2) for x≠4.
Antwortleitfaden
1/4
Prüfungsstil11 Minuten
Let f(x)=x+3 for x<2 and f(x)=2x+k for x≥2. Find k for continuity at 2.
Hinweis
Equate the left limit and the second expression's value.
Antwortleitfaden
2+3=2·2+k ⇒ k=1
Prüfungsstil12 Minuten
Find lim(x→+∞) (3x²+2)/(2x²+1).
Hinweis
Divide numerator and denominator by x².
Antwortleitfaden
3/2
Häufige Fehler
- Giving 0/0 as a final answer.
- Cancelling without retaining x≠x₀.
- Confusing existence of a limit with continuity.
Lernkontrolle
- I can evaluate limits using an appropriate transformation.
- I can check one-sided limits and continuity.
- I can apply the intermediate value theorem with its assumptions.
Όρια και συνέχεια
Hausaufgaben zum Kapitel
Sechs unterschiedliche Aufgaben von Grundlagen bis zur Herausforderung mit Zeit, Hinweisen und Antwortleitfaden.
Grundlage8 Minuten
Find lim(x→3) (4x + 1).
Hinweis
A polynomial is continuous: substitute for x.
Antwortleitfaden
4·3 + 1 = 13
Grundlage8 Minuten
Find lim(x→3) (x² − 9)/(x − 3).
Hinweis
Factor the difference of squares and cancel only away from the limit point.
Antwortleitfaden
For x ≠ 3, the quotient equals x + 3. The limit is 6.
Vertiefung8 Minuten
Let f(x)=(x² − 9)/(x − 3) for x≠3, and f(3)=k. Which k makes f continuous?
Hinweis
The function value must equal the limit.
Antwortleitfaden
k = 6
Vertiefung8 Minuten
For x<0, f(x)=4; for x≥0, f(x)=5. Does lim(x→0) f(x) exist?
Hinweis
Calculate the two one-sided limits.
Antwortleitfaden
No: left-hand 4, right-hand 5.
Herausforderung8 Minuten
Find the one-sided limits of |x|/x at 0.
Hinweis
For x<0, |x|=−x; for x>0, |x|=x.
Antwortleitfaden
Left-hand −1, right-hand 1. The two-sided limit does not exist.
Herausforderung8 Minuten
Find lim(x→9) (√x − 3)/(x − 9).
Hinweis
Rationalise to obtain 1/(√x+3) for x≠9.
Antwortleitfaden
1/6
50 Minuten / 40 Punkte
Vollständiger Kapiteltest
Zeitlich begrenzter Selbsttest mit Gesamtpunktzahl und Musterantworten.
Show your working and justify each theorem's assumptions. Check the answers after finishing.
1. Find lim(x→4) (5x + 1).
4 PunkteAntwortleitfaden
5·4 + 1 = 21
2. Find lim(x→4) (x² − 16)/(x − 4).
4 PunkteAntwortleitfaden
For x ≠ 4, the quotient equals x + 4. The limit is 8.
3. Let f(x)=(x² − 16)/(x − 4) for x≠4, and f(4)=k. Which k makes f continuous?
4 PunkteAntwortleitfaden
k = 8
4. For x<0, f(x)=5; for x≥0, f(x)=6. Does lim(x→0) f(x) exist?
4 PunkteAntwortleitfaden
No: left-hand 5, right-hand 6.
5. Find the one-sided limits of |x|/x at 0.
4 PunkteAntwortleitfaden
Left-hand −1, right-hand 1. The two-sided limit does not exist.
6. Find lim(x→16) (√x − 4)/(x − 16).
4 PunkteAntwortleitfaden
1/8
7. Let f(x)=x+5 for x<4 and f(x)=2x+k for x≥4. Find k for continuity at 4.
4 PunkteAntwortleitfaden
4+5=2·4+k ⇒ k=1
8. Find lim(x→+∞) (5x²+4)/(2x²+1).
4 PunkteAntwortleitfaden
5/2
9. Find lim(x→0) 5x/(√(1+x)+1).
4 PunkteAntwortleitfaden
0/2 = 0
10. Show that g(x)=x³+x−5 has at least one root in (0, 5).
4 PunkteAntwortleitfaden
g is continuous on [0, 5], g(0)=−5<0 and g(5)=125>0. The intermediate value theorem gives a root in (0, 5).
Einheit
Offizielle Quellen und Prüfung
Quellen zum Lehrplan. Die Reihenfolge immer mit Schule und Lehrkraft bestätigen.
Mathematics
Greek Lyceum Grade 3: a structured route for Mathematics and Physics with chapters, practice, and next steps.
Inhalt dieses Kapitels
Die Struktur folgt dem Lehrplan und hilft, das Lernen zu organisieren.
Όριο σε σημείο
Πλευρικά όρια
Πράξεις ορίων
Άπειρα όρια
Όρια στο άπειρο
Συνέχεια
Θεώρημα Bolzano
Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών
Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής
Schwerpunkte
Bereiche, in denen häufig Fehler entstehen oder mehr Wiederholung nötig ist.
I can evaluate limits using an appropriate transformation.
I can check one-sided limits and continuity.
I can apply the intermediate value theorem with its assumptions.
Quellen und Lernmaterial
Ausgangspunkt: Lehrbuch, offizielle Vorgaben, Notizen und Beispiele.
Start from the official textbook or specification referenced on the subject page.
Use the notes and examples as support, not as a replacement for the official syllabus.
Check the current syllabus version before exam preparation.
Übung nach Teilthema
Gezielte Übung vor vollständigen Tests.
Find lim(x→2) (3x + 1).
Find lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2).
Let f(x)=(x² − 4)/(x − 2) for x≠2, and f(2)=k. Which k makes f continuous?
For x<0, f(x)=3; for x≥0, f(x)=4. Does lim(x→0) f(x) exist?
Find the one-sided limits of |x|/x at 0.
Find lim(x→4) (√x − 2)/(x − 4).
Let f(x)=x+3 for x<2 and f(x)=2x+k for x≥2. Find k for continuity at 2.
Find lim(x→+∞) (3x²+2)/(2x²+1).
Tests und Lernkontrolle
So wird der Fortschritt geprüft und in einen Gesamttest eingebaut.
Start with untimed practice by subtopic.
Move to a short timed checkpoint only after completing the mastery checklist.
Record each error with the correct method and revisit it after 48 hours.
Nächster Schritt
Was nach dem Kapitel folgt und wie es mit der nächsten Einheit verbunden ist.
Complete the practice without support.
Explain the core method aloud in under two minutes.
Continue to the next chapter or request targeted tutor support.
Hinweis: Prüfe den offiziellen, aktuellen Lehrplan immer mit Schule, Lehrkraft und den zuständigen offiziellen Quellen.